Jika f(x)=cos2x maka limit h->0

-4cos(2x)

Pembahasan

Untuk menentukan limit dari f(x)=cos(2x) ketika h mendekati 0 dari ekspresi \frac{f(x+2h)-2f(x)+f(x-2h)}{(2h)^2}, kita dapat menggunakan definisi turunan kedua. 

Misalkan g(h) = f(x+2h). Maka g'(h) = f'(x+2h) * 2 dan g''(h) = f''(x+2h) * 4.

Dengan menggunakan ekspansi deret Taylor untuk f(x+2h) dan f(x-2h) di sekitar x:

f(x+2h) ≈ f(x) + f'(x)(2h) + \frac{f''(x)(2h)^2}{2!} + ...
f(x-2h) ≈ f(x) - f'(x)(2h) + \frac{f''(x)(2h)^2}{2!} + ...

Substitusikan ke dalam ekspresi limit:

Limit h->0 [ (f(x) + f'(x)(2h) + \frac{f''(x)(2h)^2}{2} + ...) - 2f(x) + (f(x) - f'(x)(2h) + \frac{f''(x)(2h)^2}{2} + ...) ] / (2h)^2

Limit h->0 [ 2f(x) + 2 * \frac{f''(x)(2h)^2}{2} - 2f(x) + ...] / (2h)^2

Limit h->0 [ f''(x)(2h)^2 + ...] / (2h)^2

= f''(x)

Sekarang, kita perlu mencari turunan kedua dari f(x) = cos(2x).
Turunan pertama, f'(x) = -2sin(2x).
Turunan kedua, f''(x) = -4cos(2x).

Jadi, limitnya adalah -4cos(2x).