Jika f(x)=sin ax-cos^2(bx), 0<=x<=pi, b=/=0, f'(0)=1, dan

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari nilai \(a\) dan \(b\) dari informasi yang diberikan.\n\nDiberikan fungsi \(f(x) = \sin(ax) - \cos^2(bx)\), dengan \(0 \le x \le \pi\), \(b \ne 0\).\nDiketahui \(f'(0) = 1\) dan \(f(\frac{1}{2}\pi) = 0\).\n\nLangkah 1: Cari turunan pertama dari \(f(x)\).\n\(f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin(ax) - \cos^2(bx))\)
Menggunakan aturan rantai:\n\(\frac{d}{dx}(\sin(ax)) = a\cos(ax)\)
\(\frac{d}{dx}(\cos^2(bx)) = 2\cos(bx) \cdot (-\sin(bx)) \cdot b = -2b\cos(bx)\sin(bx) = -b\sin(2bx)\)
\(f'(x) = a\cos(ax) - (-b\sin(2bx)) = a\cos(ax) + b\sin(2bx)\)

Langkah 2: Gunakan kondisi \(f'(0) = 1\).\n\(f'(0) = a\cos(a \cdot 0) + b\sin(2b \cdot 0)\)
\(1 = a\cos(0) + b\sin(0)\)
\(1 = a(1) + b(0)\)
\(1 = a\)
Jadi, \(a = 1\).\n
Langkah 3: Gunakan kondisi \(f(\frac{1}{2}\pi) = 0\) dan nilai \(a=1\).\n\(f(x) = \sin(1x) - \cos^2(bx)\)
\(f(\frac{1}{2}\pi) = \sin(\frac{1}{2}\pi) - \cos^2(b \cdot \frac{1}{2}\pi) = 0\)
\(1 - \cos^2(\frac{b\pi}{2}) = 0\)
\(\cos^2(\frac{b\pi}{2}) = 1\)
\(\cos(\frac{b\pi}{2}) = \pm 1\)

Ini berarti \(\frac{b\pi}{2}\) adalah kelipatan dari \(\pi\) (jika \(\cos = 1\) atau \(\cos = -1\)).\n\nKasus 1: \(\cos(\frac{b\pi}{2}) = 1\)
\(\frac{b\pi}{2} = 2k\pi\) untuk bilangan bulat \(k\).\n\(b = 4k\)
Karena \(b \ne 0\), maka \(b\) bisa 4, 8, -4, -8, ...

Kasus 2: \(\cos(\frac{b\pi}{2}) = -1\)
\(\frac{b\pi}{2} = (2k+1)\pi\) untuk bilangan bulat \(k\).\n\(b = 2(2k+1) = 4k + 2\)
Karena \(b \ne 0\), maka \(b\) bisa 2, 6, -2, -6, ...

Langkah 4: Cari nilai \(a+b\).\nKita sudah menemukan \(a=1\).\nDari kasus di atas, nilai \(b\) yang mungkin adalah kelipatan genap dari 2 (yaitu 2, 6, 10, ... atau -2, -6, -10, ...).\nMari kita coba nilai \(b=2\).\nJika \(a=1\) dan \(b=2\), maka \(a+b = 1+2 = 3\).
\(f(x) = \sin(x) - \cos^2(2x)\)
\(f'(x) = \cos(x) + 2\sin(4x)\)
\(f'(0) = \cos(0) + 2\sin(0) = 1 + 0 = 1\) (Memenuhi)\n\(f(\frac{\pi}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2}) - \cos^2(2 \cdot \frac{\pi}{2}) = 1 - \cos^2(\pi) = 1 - (-1)^2 = 1 - 1 = 0\) (Memenuhi)\n
Jadi, nilai \(a=1\) dan \(b=2\) memenuhi semua kondisi.\nMaka, \(a+b = 1+2 = 3\).