Jika salah satu akar persamaan kuadrat x^2 - 3x - 2p = 0

2

Pembahasan

Misalkan akar-akar persamaan kuadrat pertama adalah $\alpha$ dan $\beta$, serta akar-akar persamaan kuadrat kedua adalah $\gamma$ dan $\delta$. Diketahui bahwa salah satu akar persamaan pertama tiga lebih besar dari salah satu akar persamaan kedua. Kita dapat misalkan $\alpha = \gamma + 3$. 

Dari persamaan pertama, $x^2 - 3x - 2p = 0$, kita memiliki:
Jumlah akar: $\alpha + \beta = 3$
Perkalian akar: $\alpha \beta = -2p$

Dari persamaan kedua, $x^2 - 3x + p = 0$, kita memiliki:
Jumlah akar: $\gamma + \delta = 3$
Perkalian akar: $\gamma \delta = p$

Kita tahu $\alpha = \gamma + 3$. Dari jumlah akar persamaan pertama dan kedua, kita dapatkan:
$\alpha + \beta = 3$
$\gamma + \delta = 3$

Karena $\alpha = \gamma + 3$, maka $(\gamma + 3) + \beta = 3$, yang berarti $\gamma + \beta = 0$, atau $\beta = -\gamma$.

Substitusikan $\beta = -\gamma$ ke dalam perkalian akar persamaan pertama:
$\alpha \beta = -2p$
$(\gamma + 3)(-\gamma) = -2p$
$-\gamma^2 - 3\gamma = -2p$
$\gamma^2 + 3\gamma = 2p$  (Persamaan 1)

Sekarang, substitusikan $\alpha = \gamma + 3$ ke dalam perkalian akar persamaan kedua:
$\gamma \delta = p$

Kita juga tahu dari jumlah akar persamaan kedua bahwa $\gamma + \delta = 3$, sehingga $\delta = 3 - \gamma$.

Substitusikan $\delta = 3 - \gamma$ ke dalam perkalian akar persamaan kedua:
$\gamma (3 - \gamma) = p$
$3\gamma - \gamma^2 = p$  (Persamaan 2)

Sekarang kita memiliki dua persamaan dengan $p$ dan $\gamma$. Kita dapat mensubstitusikan Persamaan 2 ke Persamaan 1:
$\gamma^2 + 3\gamma = 2(3\gamma - \gamma^2)$
$\gamma^2 + 3\gamma = 6\gamma - 2\gamma^2$
$3\gamma^2 - 3\gamma = 0$
$3\gamma(\gamma - 1) = 0$

Maka, $\gamma = 0$ atau $\gamma = 1$.

Jika $\gamma = 0$, substitusikan ke Persamaan 2:
$p = 3(0) - (0)^2 = 0$. Namun, $p$ harus bilangan asli.

Jika $\gamma = 1$, substitusikan ke Persamaan 2:
$p = 3(1) - (1)^2 = 3 - 1 = 2$.

Jadi, bilangan asli $p$ adalah 2.