Jika suku pertama deret geometri adalah 2 dan rasionya

Jumlah 6 suku pertama deret geometri tersebut adalah 3.19140625.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, pertama-tama kita perlu mencari nilai m dari persamaan kuadrat yang diberikan. Akar-akar persamaan kuadrat adalah a dan b. Dari sifat akar-akar persamaan kuadrat, kita tahu bahwa:

1. Jumlah akar: a + b = -(koefisien x) / (koefisien x^2) = -(-(3m+2))/1 = 3m+2
2. Hasil kali akar: a * b = (konstanta) / (koefisien x^2) = (4m+12)/1 = 4m+12

Diketahui bahwa rasio deret geometri adalah r = m/a = b/a. Dari sini, kita dapat menyimpulkan bahwa m = b. 

Karena m adalah salah satu akar persamaan kuadrat, maka kita bisa substitusikan m ke dalam persamaan kuadrat:

m^2 - (3m+2)m + (4m+12) = 0
m^2 - 3m^2 - 2m + 4m + 12 = 0
-2m^2 + 2m + 12 = 0
m^2 - m - 6 = 0
(m-3)(m+2) = 0

Jadi, nilai m yang mungkin adalah m=3 atau m=-2. Karena diberikan syarat m > 0, maka kita ambil m = 3.

Dengan m=3, kita bisa mencari akar-akar persamaan kuadrat:

Persamaan kuadrat menjadi: x^2 - (3(3)+2)x + (4(3)+12) = 0
x^2 - (9+2)x + (12+12) = 0
x^2 - 11x + 24 = 0
(x-3)(x-8) = 0

Jadi, akar-akarnya adalah a=3 dan b=8 (atau sebaliknya).

Sekarang kita bisa menentukan rasio deret geometri:

r = m/a = 3/3 = 1
atau
r = b/a = 8/3

Jika kita gunakan r = 1, maka ini adalah deret aritmatika dengan beda 0, bukan deret geometri dengan rasio > 0 kecuali jika semua suku sama. Namun, jika kita lihat dari definisi r = m/a = b/a, ini mengimplikasikan bahwa m=b.

Jika m=b, maka r = m/a = b/a. Karena m=3 dan akar-akarnya adalah 3 dan 8, maka b=8 atau b=3. Jika b=8, maka m=8, yang bertentangan dengan m=3. Jika b=3, maka m=3, yang sesuai.

Dengan demikian, a=8 dan b=3, serta m=3. Maka rasio r = m/a = 3/8.

Suku pertama deret geometri (a1) adalah 2.
Rasionya (r) adalah 3/8.

Jumlah n suku pertama deret geometri diberikan oleh rumus Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r).

Kita ingin mencari jumlah 6 suku pertama (S6):
S6 = 2 * (1 - (3/8)^6) / (1 - 3/8)
S6 = 2 * (1 - 729/262144) / (5/8)
S6 = 2 * ((262144 - 729)/262144) / (5/8)
S6 = 2 * (261415/262144) * (8/5)
S6 = (16/5) * (261415/262144)
S6 = (16 * 261415) / (5 * 262144)
S6 = 4182640 / 1310720
S6 = 418264 / 131072

Mari kita sederhanakan:
S6 = 2 * (1 - (3/8)^6) / (5/8)
S6 = 16/5 * (1 - 729/262144)
S6 = 16/5 * (261415/262144)
S6 = (16 * 261415) / (5 * 262144)
S6 = 4182640 / 1310720
S6 = 3.19140625