Jika tan 2a=4 sin a cos a untuk pi/2<a<pi, maka cos a

-sqrt(3)/2

Pembahasan

Kita diberikan persamaan $\tan 2a = 4 \sin a \cos a$ dan kondisi $\frac{\pi}{2} < a < \pi$. Kita perlu mencari nilai $\cos a$. Pertama, kita gunakan identitas trigonometri. Kita tahu bahwa $\tan 2a = \frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a}$ dan $4 \sin a \cos a = 2(2 \sin a \cos a) = 2 \sin 2a$. Jadi, persamaannya menjadi $\frac{2 \tan a}{1 - \tan^2 a} = 2 \sin 2a$. Kita juga bisa menggunakan identitas $\tan 2a = \frac{\sin 2a}{\cos 2a}$. Sehingga $\frac{\sin 2a}{\cos 2a} = 4 \sin a \cos a$. Karena $4 \sin a \cos a = 2 \sin 2a$, maka $\frac{\sin 2a}{\cos 2a} = 2 \sin 2a$. Kita bisa membagi kedua sisi dengan $\sin 2a$, dengan asumsi $\sin 2a 
eq 0$. Jika $\sin 2a 
eq 0$, maka $\frac{1}{\cos 2a} = 2$, yang berarti $\cos 2a = \frac{1}{2}$. Kita tahu bahwa $\cos 2a = 2 \cos^2 a - 1$. Jadi, $2 \cos^2 a - 1 = \frac{1}{2}$. $2 \cos^2 a = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$. $\cos^2 a = \frac{3}{4}$. $\cos a = 
extract_value(±rac{\sqrt{3}}{2})$. Kondisi $\frac{\pi}{2} < a < \pi$ berarti sudut $a$ berada di kuadran II, di mana nilai $\cos a$ adalah negatif. Oleh karena itu, $\cos a = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Sekarang, kita perlu memeriksa asumsi $\sin 2a 
eq 0$. Jika $\cos 2a = \frac{1}{2}$, maka $2a$ bisa berada di kuadran I atau IV. Nilai $2a$ yang memenuhi adalah $2a = rac{\pi}{3} + 2k
ěpi$ atau $2a = \frac{5
ěpi}{3} + 2k
ěpi$. Jika $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, maka $\pi < 2a < 2
ěpi$. Dalam rentang ini, $\cos 2a = \frac{1}{2}$ ketika $2a = \frac{5
ěpi}{3}$. Maka $a = \frac{5
ěpi}{6}$. Jika $a = \frac{5
ěpi}{6}$, maka $\sin 2a = \sin(\frac{5
ěpi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} 
eq 0$. Jadi, asumsi $\sin 2a 
eq 0$ valid. Alternatif lain, jika $\sin 2a = 0$, maka $2 \sin 2a = 0$. Persamaan $\frac{\sin 2a}{\cos 2a} = 2 \sin 2a$ menjadi $\frac{0}{\cos 2a} = 0$, yang berarti $\cos 2a$ tidak boleh nol. Jika $\sin 2a = 0$, maka $2a = k
ěpi$. $a = k
ěpi/2$. Dalam rentang $\frac{\pi}{2} < a < \pi$, ini tidak mungkin. Jadi $\sin 2a$ memang tidak nol. Jadi, nilai $\cos a$ adalah $-\frac{\sqrt{3}}{2}$.