lim x->0 (cos 2x-2 cos x+1)/x^2= ...

-1

Pembahasan

Soal ini adalah tentang limit fungsi trigonometri.

lim x->0 (cos 2x - 2 cos x + 1) / x²

Jika kita substitusikan x = 0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0:
cos(0) - 2 cos(0) + 1 = 1 - 2(1) + 1 = 0
0² = 0

Kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau identitas trigonometri untuk menyelesaikannya.

Metode 1: Menggunakan Identitas Trigonometri
Kita tahu bahwa cos 2x = 2 cos² x - 1.
Substitusikan ini ke dalam persamaan:
lim x->0 ((2 cos² x - 1) - 2 cos x + 1) / x²
lim x->0 (2 cos² x - 2 cos x) / x²
lim x->0 2 cos x (cos x - 1) / x²

Kita juga tahu bahwa lim x->0 (cos x - 1) / x² = -1/2.
Dan lim x->0 cos x = 1.

Jadi, limitnya menjadi:
2 * (lim x->0 cos x) * (lim x->0 (cos x - 1) / x²)
2 * (1) * (-1/2)
= -1

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital (dua kali)
Karena bentuknya 0/0, kita turunkan pembilang dan penyebut:
Turunan pembilang: -2 sin 2x + 2 sin x
Turunan penyebut: 2x

lim x->0 (-2 sin 2x + 2 sin x) / 2x
Ini masih bentuk 0/0. Terapkan L'Hopital lagi:
Turunan pembilang: -4 cos 2x + 2 cos x
Turunan penyebut: 2

lim x->0 (-4 cos 2x + 2 cos x) / 2
Substitusikan x = 0:
(-4 cos 0 + 2 cos 0) / 2
(-4(1) + 2(1)) / 2
(-4 + 2) / 2
-2 / 2
= -1

Jadi, lim x->0 (cos 2x-2 cos x+1)/x^2 = -1.