lim x->-1

-2/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menggunakan metode substitusi atau rasionalisasi karena jika kita substitusikan x = -1 langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.

lim x->-1 (√(3x+7) - √(-5x-1)) / (√( -5x+4) - √(3x+12))

Substitusikan x = -1 ke dalam ekspresi:
Pembilang: √(3(-1)+7) - √(-5(-1)-1) = √(-3+7) - √(5-1) = √4 - √4 = 2 - 2 = 0

Penyebut: √(-5(-1)+4) - √(3(-1)+12) = √(5+4) - √(-3+12) = √9 - √9 = 3 - 3 = 0

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugatnya masing-masing untuk merasionalisasi.

Konjugat pembilang: (√(3x+7) + √(-5x-1))
Konjugat penyebut: (√( -5x+4) + √(3x+12))

Kalikan pembilang dengan konjugatnya:
(√(3x+7) - √(-5x-1)) * (√(3x+7) + √(-5x-1)) = (3x+7) - (-5x-1) = 3x+7 + 5x+1 = 8x+8

Kalikan penyebut dengan konjugatnya:
(√( -5x+4) - √(3x+12)) * (√( -5x+4) + √(3x+12)) = (-5x+4) - (3x+12) = -5x+4 - 3x-12 = -8x-8

Sekarang, susun ulang ekspresi limit dengan hasil rasionalisasi:
lim x->-1 [(8x+8) / (√( -5x+4) + √(3x+12))] * [(√(3x+7) + √(-5x-1)) / (-8x-8)]

Kita bisa menyederhanakan (8x+8) dan (-8x-8) menjadi 8(x+1) dan -8(x+1). Karena x mendekati -1, x+1 mendekati 0 tetapi tidak sama dengan 0, jadi kita bisa membaginya.

lim x->-1 [8(x+1) / -8(x+1)] * [(√(3x+7) + √(-5x-1)) / (√( -5x+4) + √(3x+12))]

lim x->-1 [-1] * [(√(3x+7) + √(-5x-1)) / (√( -5x+4) + √(3x+12))]

Sekarang, substitusikan x = -1 ke dalam ekspresi yang tersisa:
-1 * [(√(3(-1)+7) + √(-5(-1)-1)) / (√(-5(-1)+4) + √(3(-1)+12))]
-1 * [(√(4) + √(4)) / (√(9) + √(9))]
-1 * [(2 + 2) / (3 + 3)]
-1 * [4 / 6]
-1 * [2/3]
= -2/3

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah -2/3.