limit x -> 0 (sin 4x+sin 2x)/3x cosx=...

Nilai limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan sifat-sifat limit dan identitas trigonometri. Fungsi yang diberikan adalah:
lim (sin 4x + sin 2x) / (3x cos x)
x→0

Kita bisa memisahkan fungsi menjadi beberapa bagian:
= lim [ (sin 4x) / (3x cos x) + (sin 2x) / (3x cos x) ]
x→0

Sekarang kita evaluasi limit masing-masing bagian:
Untuk bagian pertama: lim (sin 4x) / (3x cos x)
x→0
Kita tahu bahwa lim (sin ax) / (bx) = a/b. Agar sesuai dengan bentuk ini, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan 4/4:
= lim [ (4 * sin 4x) / (4 * 3x cos x) ]
x→0
= lim [ (4/3) * (sin 4x) / (4x) * (1 / cos x) ]
x→0
Karena lim (sin u) / u = 1 saat u→0, dan lim (1 / cos x) = 1 / cos(0) = 1/1 = 1 saat x→0, maka:
= (4/3) * 1 * 1 = 4/3

Untuk bagian kedua: lim (sin 2x) / (3x cos x)
x→0
Kita kalikan pembilang dan penyebut dengan 2/2:
= lim [ (2 * sin 2x) / (2 * 3x cos x) ]
x→0
= lim [ (2/3) * (sin 2x) / (2x) * (1 / cos x) ]
x→0
Dengan menggunakan sifat lim (sin u) / u = 1 dan lim (1 / cos x) = 1:
= (2/3) * 1 * 1 = 2/3

Sekarang, kita jumlahkan hasil dari kedua bagian:
Total limit = 4/3 + 2/3 = 6/3 = 2.

Jadi, nilai dari limit tersebut adalah 2.