Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x=y^2 dan

9/2

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva x=y^2 dan garis y=x-2, kita perlu mencari titik potong kedua kurva tersebut terlebih dahulu. Substitusikan y=x-2 ke dalam x=y^2, sehingga menjadi x = (x-2)^2. Ini menghasilkan x = x^2 - 4x + 4, atau x^2 - 5x + 4 = 0. Faktorkan persamaan kuadrat ini menjadi (x-1)(x-4)=0, sehingga titik potongnya adalah x=1 dan x=4. Karena kita mengintegrasikan terhadap y, kita perlu menyatakan x dalam bentuk y. Dari y=x-2, kita dapatkan x=y+2. Dari x=y^2, kita punya y = ±√x. Kurva y=x-2 memotong sumbu y pada y=-2 dan memotong sumbu x pada x=2. Kurva x=y^2 adalah parabola yang terbuka ke kanan. Untuk menghitung luas, kita perlu menentukan batas integrasi pada sumbu y. Titik potong pada sumbu y ditemukan dengan menyamakan kedua persamaan x: y^2 = y+2, yang menghasilkan y^2 - y - 2 = 0. Faktorkan menjadi (y-2)(y+1)=0, sehingga y=-1 dan y=2. Sekarang kita bisa mengintegrasikan perbedaan antara kedua fungsi x terhadap y dari y=-1 sampai y=2. Luas = ∫[-1, 2] (y+2 - y^2) dy. Mengintegralkan memberikan [1/2 y^2 + 2y - 1/3 y^3] dari -1 sampai 2. Evaluasi pada batas atas: (1/2 * 2^2 + 2*2 - 1/3 * 2^3) = (2 + 4 - 8/3) = 6 - 8/3 = 10/3. Evaluasi pada batas bawah: (1/2 * (-1)^2 + 2*(-1) - 1/3 * (-1)^3) = (1/2 - 2 + 1/3) = (3/6 - 12/6 + 2/6) = -7/6. Luas = 10/3 - (-7/6) = 20/6 + 7/6 = 27/6 = 9/2.