Luas permukaan benda putar jika garis x+3y=6 diputar 360

12 akar(10) pi

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan luas permukaan benda putar. Garis yang diberikan adalah x + 3y = 6. Kita perlu memutarnya 360 derajat mengelilingi sumbu Y dengan batas atas sumbu koordinat. Pertama, kita perlu menyatakan x dalam bentuk y dari persamaan garis: x = 6 - 3y.

Rumus luas permukaan benda putar mengelilingi sumbu Y adalah L = \int_{a}^{b} 2\pi x \sqrt{1 + (dx/dy)^2} dy.

Kita perlu mencari dx/dy. Dari x = 6 - 3y, maka dx/dy = -3.
Jadi, (dx/dy)^2 = (-3)^2 = 9.

Rumus menjadi L = \int_{a}^{b} 2\pi (6 - 3y) \sqrt{1 + 9} dy = \int_{a}^{b} 2\pi (6 - 3y) \sqrt{10} dy.

Selanjutnya, kita perlu menentukan batas integrasi (a dan b). Batas atas sumbu koordinat berarti kita perlu mencari titik potong garis dengan sumbu Y dan sumbu X. 

Saat x=0 (sumbu Y), 0 + 3y = 6 => 3y = 6 => y = 2. Titik potongnya adalah (0, 2).
Saat y=0 (sumbu X), x + 3(0) = 6 => x = 6. Titik potongnya adalah (6, 0).

Karena diputar mengelilingi sumbu Y dengan batas atas sumbu koordinat, maka batas integrasinya adalah dari y=0 hingga y=2.

L = \int_{0}^{2} 2\pi (6 - 3y) \sqrt{10} dy
L = 2\pi \sqrt{10} \int_{0}^{2} (6 - 3y) dy
L = 2\pi \sqrt{10} [6y - \frac{3}{2}y^2]_{0}^{2}
L = 2\pi \sqrt{10} [(6(2) - \frac{3}{2}(2)^2) - (6(0) - \frac{3}{2}(0)^2)]
L = 2\pi \sqrt{10} [(12 - \frac{3}{2}(4)) - 0]
L = 2\pi \sqrt{10} [12 - 6]
L = 2\pi \sqrt{10} [6]
L = 12\pi \sqrt{10}

Jadi, luas permukaan benda putar adalah 12 akar(10) pi satuan luas.

Jawaban ringkas: 12 akar(10) pi