Misalkan 1+ 1/p + (1)/(p^2) + (1)/(p^3) +.. = 2021 dan 1/q

2020^2 / (2020^2 - 1)

Pembahasan

Diberikan dua deret geometri tak hingga:
1. S1 = 1 + 1/p + (1)/(p^2) + (1)/(p^3) +... = 2021
Ini adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a = 1 dan rasio r = 1/p. Jumlah deret geometri tak hingga adalah S = a / (1 - r), asalkan |r| < 1.
Jadi, 2021 = 1 / (1 - 1/p)
2021 = 1 / ((p-1)/p)
2021 = p / (p-1)
2021(p - 1) = p
2021p - 2021 = p
2020p = 2021
p = 2021 / 2020

2. S2 = 1/q + (1)/(q^2) + (1)/(q^3)+... = 2019
Ini adalah deret geometri tak hingga dengan suku pertama a = 1/q dan rasio r = 1/q. Jumlah deretnya adalah S = a / (1 - r).
Jadi, 2019 = (1/q) / (1 - 1/q)
2019 = (1/q) / ((q-1)/q)
2019 = 1 / (q-1)
2019(q - 1) = 1
2019q - 2019 = 1
2019q = 2020
q = 2020 / 2019

Nilai dari q/p:
q/p = (2020 / 2019) / (2021 / 2020)
q/p = (2020 / 2019) * (2020 / 2021)
q/p = 2020^2 / (2019 * 2021)

Kita bisa melihat bahwa 2019 * 2021 = (2020 - 1)(2020 + 1) = 2020^2 - 1^2 = 2020^2 - 1.

Maka, q/p = 2020^2 / (2020^2 - 1).

Jika kita periksa ulang perhitungan:
Dari S1: 2021(p-1) = p => 2021p - p = 2021 => 2020p = 2021 => p = 2021/2020.
Dari S2: 2019(1 - 1/q) = 1/q => 2019q - 2019 = 1 => 2019q = 2020 => q = 2020/2019.

q/p = (2020/2019) / (2021/2020) = (2020/2019) * (2020/2021) = 4080400 / 4082439.

Mari kita cek apakah ada penyederhanaan lain.
Jika S1 = 1/(1-1/p) = p/(p-1) = 2021.
Jika S2 = (1/q)/(1-1/q) = 1/(q-1) = 2019.

Maka p = 2021/2020 dan q = 2020/2019.

q/p = (2020/2019) / (2021/2020) = (2020 * 2020) / (2019 * 2021) = 2020^2 / (2020^2 - 1).
Nilai q/p = 2020^2 / (2020^2 - 1).

Perhitungan ulang:
Dari 1+ 1/p + (1)/(p^2) + (1)/(p^3) +.. = 2021
Suku pertama a=1, rasio r=1/p
Jumlah = a/(1-r) = 1/(1-1/p) = p/(p-1) = 2021
p = 2021(p-1) = 2021p - 2021
2020p = 2021
p = 2021/2020

Dari 1/q + (1)/(q^2) + (1)/(q^3)+.. = 2019
Suku pertama a=1/q, rasio r=1/q
Jumlah = a/(1-r) = (1/q)/(1-1/q) = (1/q)/((q-1)/q) = 1/(q-1) = 2019
1 = 2019(q-1) = 2019q - 2019
2020 = 2019q
q = 2020/2019

Nilai q/p = (2020/2019) / (2021/2020) = (2020/2019) * (2020/2021) = (2020^2) / (2019 * 2021) = 2020^2 / (2020^2 - 1).