Misalkan f=cos ^2 x dan g=sin ^2 x. Manakah dari pilihan

Fungsi $\cos 2x$ dan 1 termasuk dalam ruang yang direntangkan oleh $f(x) = \cos^2 x$ dan $g(x) = \sin^2 x$.

Pembahasan

Untuk menentukan mana yang termasuk dalam ruang yang direntangkan oleh $f(x) = \cos^2 x$ dan $g(x) = \sin^2 x$, kita perlu mencari kombinasi linear dari $f(x)$ dan $g(x)$. Ruang yang direntangkan oleh $f$ dan $g$ adalah himpunan semua fungsi yang dapat ditulis dalam bentuk $af(x) + bg(x)$, di mana $a$ dan $b$ adalah skalar (bilangan real). 

Kita tahu identitas trigonometri dasar: $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$.

Sekarang mari kita periksa pilihan yang diberikan:

a. $\cos 2x$: Menggunakan identitas $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Ini adalah kombinasi linear dari $f(x)$ dan $g(x)$ dengan $a=1$ dan $b=-1$ (yaitu, $1 	imes \cos^2 x + (-1) \times \sin^2 x$). Jadi, $\cos 2x$ berada dalam ruang yang direntangkan.

b. $3+x^2$: Fungsi ini tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari $\cos^2 x$ dan $\sin^2 x$. Variabel $x^2$ dan konstanta 3 tidak dapat dihasilkan dari kombinasi $\cos^2 x$ dan $\sin^2 x$ saja.

c. 1: Seperti yang telah kita lihat dari identitas trigonometri, $1 = \cos^2 x + \sin^2 x$. Ini adalah kombinasi linear dari $f(x)$ dan $g(x)$ dengan $a=1$ dan $b=1$. Jadi, 1 berada dalam ruang yang direntangkan.

Oleh karena itu, pilihan a ($\cos 2x$) dan c (1) berada dalam ruang yang direntangkan oleh $f$ dan $g$. Jika kita harus memilih satu, biasanya kita mencari yang paling langsung atau paling umum direpresentasikan. Namun, berdasarkan definisi ruang rentangan, keduanya valid.