Misalkan f(x)=(x-3)^3+(x-2)^2+(x-1), tentukanlah sisa

5x-2

Pembahasan

Diberikan f(x) = (x-3)^3 + (x-2)^2 + (x-1).
Kita perlu mencari sisa pembagian f(x+2) oleh x^2 - 1.
Pertama, substitusikan (x+2) ke dalam f(x):
f(x+2) = ((x+2)-3)^3 + ((x+2)-2)^2 + ((x+2)-1)
f(x+2) = (x-1)^3 + x^2 + (x+1)

Sekarang, kita akan membagi f(x+2) dengan x^2 - 1. Kita tahu bahwa x^2 - 1 = (x-1)(x+1).
Menurut teorema sisa, jika f(x) dibagi oleh (x-a), sisanya adalah f(a).
Untuk pembagian dengan x^2 - 1, kita bisa menggunakan pembagian polinomial atau menggunakan sifat bahwa jika P(x) dibagi oleh D(x) berderajat n, maka sisanya berderajat paling tinggi n-1. Dalam hal ini, pembaginya adalah x^2-1 (derajat 2), sehingga sisanya akan berbentuk ax+b.

Kita dapat menulis f(x+2) = Q(x)(x^2 - 1) + (ax+b).
Untuk x = 1:
f(1+2) = Q(1)(1^2 - 1) + (a(1)+b)
f(3) = Q(1)(0) + a+b
f(3) = a+b

Hitung f(3) dari ekspresi awal f(x):
f(3) = (3-3)^3 + (3-2)^2 + (3-1) = 0^3 + 1^2 + 2 = 0 + 1 + 2 = 3.
Jadi, a+b = 3. (Persamaan 1)

Untuk x = -1:
f(-1+2) = Q(-1)((-1)^2 - 1) + (a(-1)+b)
f(1) = Q(-1)(0) -a+b
f(1) = -a+b

Hitung f(1) dari ekspresi awal f(x):
f(1) = (1-3)^3 + (1-2)^2 + (1-1) = (-2)^3 + (-1)^2 + 0 = -8 + 1 + 0 = -7.
Jadi, -a+b = -7. (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem persamaan linear:
1) a + b = 3
2) -a + b = -7

Jumlahkan kedua persamaan:
(a+b) + (-a+b) = 3 + (-7)
2b = -4
b = -2

Substitusikan nilai b ke Persamaan 1:
a + (-2) = 3
a = 3 + 2
a = 5

Jadi, sisa pembagiannya adalah ax+b = 5x - 2.