Misalkan p, q adalah bilangan real yang bukan nol. Carilah

a. {(0, 0), (-q/(2p), 1/2)} b. {(p, q), (q, p)}

Pembahasan

Soal ini meminta penyelesaian Sistem Persamaan Linear Kuadratik Dua Variabel (SPLKDV) untuk dua kasus yang berbeda.

a. Sistem persamaan:
1) $px + qy = 0$
2) $p^2x^2 + pqx + q^2y^2 = 0$
Dari persamaan (1), jika $p \neq 0$ dan $q \neq 0$, kita dapat menyatakan $y = -(p/q)x$. Substitusikan ke persamaan (2):
$p^2x^2 + pqx + q^2 (-(p/q)x)^2 = 0$
$p^2x^2 + pqx + q^2 (p^2/q^2)x^2 = 0$
$p^2x^2 + pqx + p^2x^2 = 0$
$2p^2x^2 + pqx = 0$
$px(2px + q) = 0$
Karena p bukan nol, maka $x = 0$ atau $2px + q = 0 
Rightarrow x = -q/(2p)$.
Jika $x = 0$, maka dari persamaan (1), $qy = 0$. Karena q bukan nol, maka $y = 0$. Jadi, solusi pertama adalah (0, 0).
Jika $x = -q/(2p)$, maka dari persamaan (1), $p(-q/(2p)) + qy = 0 
Rightarrow -q/2 + qy = 0 
Rightarrow qy = q/2$. Karena q bukan nol, maka $y = 1/2$.
Jadi, solusi kedua adalah $(-q/(2p), 1/2)$.
Himpunan penyelesaiannya adalah {(0, 0), $(-q/(2p), 1/2)$}.

b. Sistem persamaan:
1) $x + y = p + q$
2) $x^2 + y^2 + xy - p^2 - q^2 - pq = 0$
Dari persamaan (1), $y = p + q - x$. Substitusikan ke persamaan (2):
$x^2 + (p + q - x)^2 + x(p + q - x) - p^2 - q^2 - pq = 0$
$x^2 + (p^2 + q^2 + x^2 + 2pq - 2px - 2qx) + (px + qx - x^2) - p^2 - q^2 - pq = 0$
$x^2 + p^2 + q^2 + x^2 + 2pq - 2px - 2qx + px + qx - x^2 - p^2 - q^2 - pq = 0$
Gabungkan suku-suku yang serupa:
$(x^2 + x^2 - x^2) + (p^2 - p^2) + (q^2 - q^2) + (2pq - pq) + (-2px + px) + (-2qx + qx) = 0$
$x^2 + pq - px - qx = 0$
$x^2 - (p+q)x + pq = 0$
Faktorkan persamaan kuadratik ini:
$(x - p)(x - q) = 0$
Jadi, $x = p$ atau $x = q$.
Jika $x = p$, maka dari persamaan (1), $p + y = p + q 
Rightarrow y = q$.
Jika $x = q$, maka dari persamaan (1), $q + y = p + q 
Rightarrow y = p$.
Himpunan penyelesaiannya adalah {(p, q), (q, p)}.