Misalkan salah satu akar dari persamaan kuadrat x^2-10x+a=0

Asumsi bahwa a=0 memenuhi kondisi soal. Namun, jika diasumsikan a tidak nol, maka soal ini memiliki inkonsistensi.

Pembahasan

Misalkan akar-akar dari persamaan kuadrat pertama ($x^2 - 10x + a = 0$) adalah $\alpha$ dan $-\alpha$ (karena berlawanan tanda).
Menurut teorema Vieta:
Jumlah akar: $\alpha + (-\alpha) = 10 
0 = 10$ (Ini menunjukkan ada yang salah dengan asumsi awal, mari kita perbaiki).

Misalkan akar-akar dari $x^2 - 10x + a = 0$ adalah $r_1$ dan $r_2$. 
Misalkan akar-akar dari $x^2 + 10x - a = 0$ adalah $s_1$ dan $s_2$.
Diketahui salah satu akar dari persamaan pertama berlawanan tanda dengan salah satu akar dari persamaan kedua. Misalkan $r_1 = -s_1$.

Dari persamaan pertama ($x^2 - 10x + a = 0$):
Jumlah akar: $r_1 + r_2 = 10$
Perkalian akar: $r_1 	imes r_2 = a$

Dari persamaan kedua ($x^2 + 10x - a = 0$):
Jumlah akar: $s_1 + s_2 = -10$
Perkalian akar: $s_1 	imes s_2 = -a$

Karena $r_1 = -s_1$, maka:
$(-s_1) + r_2 = 10 
-s_1 	imes r_2 = a$
$s_1 + s_2 = -10 
 s_1 	imes s_2 = -a$

Dari $r_1 	imes r_2 = a$ dan $s_1 	imes s_2 = -a$, kita bisa substitusi $r_1 = -s_1$: 
$(-s_1) 	imes r_2 = a$
$s_1 	imes s_2 = -a$

Jika kita kalikan kedua persamaan terakhir:
$(-s_1 	imes r_2) 	imes (s_1 	imes s_2) = a 	imes (-a)$
$-(s_1^2 	imes r_2 	imes s_2) = -a^2$
$s_1^2 	imes r_2 	imes s_2 = a^2$

Ini masih belum cukup. Mari kita gunakan informasi $r_1 = -s_1$ pada jumlah akar:
$r_1 + r_2 = 10 
-s_1 + r_2 = 10 
 r_2 = 10 + s_1$

$s_1 + s_2 = -10 
 s_2 = -10 - s_1$

Substitusikan ke perkalian akar:
$r_1 	imes r_2 = a 
 (-s_1) 	imes (10 + s_1) = a 
 -10s_1 - s_1^2 = a$

$s_1 	imes s_2 = -a 
 s_1 	imes (-10 - s_1) = -a 
 -10s_1 - s_1^2 = -a$

Dari kedua persamaan terakhir, kita mendapatkan $a = -a$, yang berarti $a = 0$. Jika $a = 0$, kedua persamaan menjadi $x^2 - 10x = 0$ dan $x^2 + 10x = 0$. Akar-akarnya adalah {0, 10} dan {0, -10}. Akar 0 berlawanan tanda dengan 0, yang memenuhi syarat. Namun, biasanya soal seperti ini mengasumsikan akar-akar tidak nol.

Mari kita coba pendekatan lain. Jika salah satu akar dari $x^2 - 10x + a = 0$ adalah $\alpha$, maka $-\alpha$ adalah akar dari $x^2 + 10x - a = 0$. 

Untuk $x^2 - 10x + a = 0$, jika akarnya $\alpha$ dan $\beta$, maka $\alpha + \beta = 10$ dan $\alpha \beta = a$.
Untuk $x^2 + 10x - a = 0$, jika akarnya $-\alpha$ dan $\gamma$, maka $-\alpha + \gamma = -10$ dan $(-\alpha) \gamma = -a$.

Dari $\alpha + \beta = 10$, kita punya $\beta = 10 - \alpha$.
Dari $-\alpha + \gamma = -10$, kita punya $\gamma = \alpha - 10$.

Substitusi ke perkalian akar:
$\alpha \beta = a 
 \alpha (10 - \alpha) = a 
 10\alpha - \alpha^2 = a$

$(-\alpha) \gamma = -a 
 (-\alpha) (\alpha - 10) = -a 
 -\alpha^2 + 10\alpha = -a$

Dari dua persamaan terakhir, kita punya $a = -a$, sehingga $a = 0$. Sekali lagi, $a=0$. Jika kita mengasumsikan akar yang berlawanan tanda tidak nol, maka ada kesalahan dalam pemahaman soal atau soalnya sendiri.

Asumsi lain: Misalkan akar persamaan pertama adalah $\alpha$ dan $\beta$. Misalkan akar persamaan kedua adalah $\gamma$ dan $\delta$. Diketahui $\alpha = -\gamma$. 

Persamaan 1: $x^2 - 10x + a = 0$. Akar: $\alpha, \beta$. 
$\alpha + \beta = 10$ 
$\alpha \beta = a$

Persamaan 2: $x^2 + 10x - a = 0$. Akar: $\gamma, \delta$. 
$\gamma + \delta = -10$ 
$\gamma \delta = -a$

Karena $\alpha = -\gamma$, maka $\gamma = -\alpha$. 
Substitusi ke persamaan 2:
$-\alpha + \delta = -10 
(-\alpha) \delta = -a$

Dari $\alpha + \beta = 10$, maka $\beta = 10 - \alpha$. 
Dari $-\alpha + \delta = -10$, maka $\delta = \alpha - 10$. 

Substitusi ke $\alpha \beta = a$:
$\alpha (10 - \alpha) = a$
$10\alpha - \alpha^2 = a$ (Persamaan 3)

Substitusi ke $(-\alpha) \delta = -a$:
$(-\alpha) (\alpha - 10) = -a$
$-\alpha^2 + 10\alpha = -a$ (Persamaan 4)

Dari Persamaan 3 dan 4, $a = -a$, yang berarti $a = 0$. 
Jika $a = 0$, kedua persamaan adalah $x^2 - 10x = 0$ (akar 0, 10) dan $x^2 + 10x = 0$ (akar 0, -10). Akar 0 berlawanan tanda dengan 0. 

Jika kita asumsikan $a \neq 0$, mari kita periksa kembali soalnya.