Misalkan x, y adalah bilangan real positif dan x>y

5

Pembahasan

Misalkan log(x) y = A dan log(y) x = B. Diketahui bahwa rata-rata dari A dan B adalah 3 kali hasil kalinya. Maka, (A+B)/2 = 3AB. Kita juga tahu bahwa B = 1/A. Sehingga, (A + 1/A)/2 = 3A(1/A) = 3. Ini berarti A + 1/A = 6. Kalikan kedua sisi dengan A: A^2 + 1 = 6A, atau A^2 - 6A + 1 = 0. Menggunakan rumus kuadrat, A = (6 ± sqrt(36 - 4))/2 = (6 ± sqrt(32))/2 = (6 ± 4akar(2))/2 = 3 ± 2akar(2). Diberikan log(x) y = a + b akar(2). Jika kita mengambil A = 3 + 2akar(2), maka a = 3 dan b = 2. Jika kita mengambil A = 3 - 2akar(2), maka a = 3 dan b = -2. Dalam kedua kasus, a+b = 3+2 = 5 atau a+b = 3-2 = 1. Namun, karena x > y > 0, maka log(x) y > 0. Baik 3 + 2akar(2) maupun 3 - 2akar(2) adalah positif. Kita perlu memeriksa apakah x > y. Jika log(x) y = 3 + 2akar(2) > 1, maka x > 1 dan 0 < y < x. Jika log(x) y = 3 - 2akar(2) ≈ 3 - 2.828 = 0.172 < 1, maka 0 < x < 1 dan y > x. Ini bertentangan dengan x > y. Oleh karena itu, log(x) y = 3 + 2akar(2). Sehingga a=3 dan b=2. Maka, a+b = 3+2 = 5.