Nilai dari lim x -> -1 (x^2-2 x-3)/(x^2-3 x-4)=...

4/5

Pembahasan

Untuk mengevaluasi limit \(\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 3x - 4}\), pertama kita coba substitusikan \(x = -1\) ke dalam ekspresi tersebut:

Pembilang: \((-1)^2 - 2(-1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0\)
Penyebut: \((-1)^2 - 3(-1) - 4 = 1 + 3 - 4 = 0\)

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu \(\frac{0}{0}\), kita dapat menggunakan aturan L'Hôpital atau memfaktorkan pembilang dan penyebut.

Metode 1: Memfaktorkan

Faktorkan pembilang \(x^2 - 2x - 3\):
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -3 dan jika dijumlahkan menghasilkan -2. Bilangan tersebut adalah -3 dan 1.
Jadi, \(x^2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)\).

Faktorkan penyebut \(x^2 - 3x - 4\):
Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -4 dan jika dijumlahkan menghasilkan -3. Bilangan tersebut adalah -4 dan 1.
Jadi, \(x^2 - 3x - 4 = (x - 4)(x + 1)\).

Sekarang, substitusikan kembali faktor-faktor tersebut ke dalam ekspresi limit:
\(\lim_{x \to -1} \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 4)(x + 1)}\)

Karena \(x \to -1\), maka \(x \neq -1\), sehingga \(x + 1 \neq 0\). Kita bisa membatalkan faktor \((x + 1)\):
\(\lim_{x \to -1} \frac{x - 3}{x - 4}\)

Sekarang, substitusikan \(x = -1\) ke dalam ekspresi yang disederhanakan:
\(\frac{-1 - 3}{-1 - 4} = rac{-4}{-5} = rac{4}{5}\).

Metode 2: Aturan L'Hôpital

Karena kita mendapatkan bentuk \(\frac{0}{0}\), kita bisa mengambil turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah:

Turunan pembilang \(\frac{d}{dx}(x^2 - 2x - 3) = 2x - 2\).
Turunan penyebut \(\frac{d}{dx}(x^2 - 3x - 4) = 2x - 3\).

Sekarang, evaluasi limit dari rasio turunan:
\(\lim_{x \to -1} \frac{2x - 2}{2x - 3}\)

Substitusikan \(x = -1\):
\(\frac{2(-1) - 2}{2(-1) - 3} = rac{-2 - 2}{-2 - 3} = rac{-4}{-5} = rac{4}{5}\).

Kedua metode memberikan hasil yang sama.