Nilai dari lim x->pi/8 (sin^2 2x - Cos^2 2x)/(sin 2x - cos

sqrt(2)

Pembahasan

Limit yang diberikan adalah:
lim x->pi/8 (sin^2 2x - Cos^2 2x)/(sin 2x - cos 2x)

Gunakan identitas trigonometri: sin^2 A - cos^2 A = -(cos^2 A - sin^2 A) = -cos(2A).
Dalam kasus ini, A = 2x, sehingga 2A = 4x.
Jadi, sin^2 2x - cos^2 2x = -cos(4x).

Limit menjadi:
lim x->pi/8 (-cos(4x))/(sin 2x - cos 2x)

Sekarang substitusikan x = pi/8:
-cos(4 * pi/8) = -cos(pi/2) = 0
sin(2 * pi/8) = sin(pi/4) = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2
cos(2 * pi/8) = cos(pi/4) = 1/sqrt(2) = sqrt(2)/2

Karena penyebutnya menjadi sin(pi/4) - cos(pi/4) = sqrt(2)/2 - sqrt(2)/2 = 0, kita perlu menggunakan metode lain atau menyederhanakan ekspresi.

Perhatikan pembilang: sin^2 2x - cos^2 2x = (sin 2x - cos 2x)(sin 2x + cos 2x).

Limit menjadi:
lim x->pi/8 [(sin 2x - cos 2x)(sin 2x + cos 2x)] / (sin 2x - cos 2x)

Kita bisa membatalkan (sin 2x - cos 2x) karena x mendekati pi/8, tetapi tidak sama dengan pi/8, sehingga sin 2x - cos 2x tidak sama dengan nol.

Limit menjadi:
lim x->pi/8 (sin 2x + cos 2x)

Sekarang substitusikan x = pi/8:
sin(2 * pi/8) + cos(2 * pi/8)
sin(pi/4) + cos(pi/4)
(sqrt(2)/2) + (sqrt(2)/2)
= 2 * (sqrt(2)/2)
= sqrt(2)