Nilai lim->4 (4-x/2-akar(x))=....

Nilai limit adalah 4, diperoleh dengan menyederhanakan ekspresi menggunakan bentuk sekawan atau aturan L'Hopital.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan metode substitusi dan faktorisasi, atau aturan L'Hopital jika diperlukan.

Limit yang dicari adalah: lim
x→4 (4 - x) / (2 - √x)

Jika kita substitusikan x = 4 langsung:
(4 - 4) / (2 - √4) = 0 / (2 - 2) = 0 / 0.
Ini adalah bentuk tak tentu, sehingga kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut.

Cara 1: Mengalikan dengan bentuk sekawan dari penyebut.
Bentuk sekawan dari (2 - √x) adalah (2 + √x).

lim
x→4 (4 - x) / (2 - √x) * (2 + √x) / (2 + √x)

Perhatikan bagian pembilang: (4 - x). Kita bisa menuliskannya sebagai -(x - 4).
Dan kita bisa memfaktorkan (x - 4) sebagai selisih kuadrat: x - 4 = (√x - 2)(√x + 2).
Jadi, 4 - x = -(x - 4) = - (√x - 2)(√x + 2) = (2 - √x)(2 + √x).

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
lim
x→4 [(2 - √x)(2 + √x)] / (2 - √x)

Kita bisa membatalkan faktor (2 - √x) karena x mendekati 4, tetapi tidak sama dengan 4, sehingga (2 - √x) tidak sama dengan nol.

lim
x→4 (2 + √x)

Sekarang substitusikan x = 4:
2 + √4 = 2 + 2 = 4.

Cara 2: Menggunakan aturan L'Hopital (karena bentuknya 0/0).
Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika lim f(x)/g(x) menghasilkan bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞, maka limit tersebut sama dengan lim f'(x)/g'(x).

Misalkan f(x) = 4 - x dan g(x) = 2 - √x.

Turunan dari f(x) adalah f'(x) = d/dx (4 - x) = -1.

Turunan dari g(x) adalah g'(x) = d/dx (2 - √x) = d/dx (2 - x^(1/2)).
g'(x) = 0 - (1/2) * x^(-1/2) = -1 / (2√x).

Sekarang hitung limit dari f'(x) / g'(x):
lim
x→4 (-1) / (-1 / (2√x))

= lim
x→4 (-1) * (-2√x / 1)
= lim
x→4 2√x

Substitusikan x = 4:
2 * √4 = 2 * 2 = 4.

Kedua metode menghasilkan jawaban yang sama.

Jadi, nilai dari lim
x→4 (4-x)/(2-√x) adalah 4.