Nilai limit x->pi/4 sin(pi/4-x)tan(x+pi/4) adalah ....

0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \pi/4} \frac{\sin(\pi/4-x)}{\tan(x+\pi/4)}$, kita bisa melakukan substitusi langsung terlebih dahulu.
Ketika $x \to \pi/4$, maka:
$\,\pi/4 - x \to \pi/4 - \pi/4 = 0$
$\,x + \pi/4 \to \pi/4 + \pi/4 = \pi/2$

Sehingga, $\sin(\pi/4 - x) \to \sin(0) = 0$
dan $\tan(x + \pi/4) \to \tan(\pi/2)$, yang nilainya tak terdefinisi (mendekati tak hingga).

Karena kita mendapatkan bentuk $\frac{0}{\infty}$ atau bentuk tak tentu lainnya, kita perlu menggunakan metode lain, seperti manipulasi aljabar atau aturan L'Hôpital jika bentuknya $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$.

Mari kita ubah $\tan(x+\pi/4)$. Kita tahu bahwa $\tan(\theta) = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)}$.
Jadi, $\tan(x+\pi/4) = \frac{\sin(x+\pi/4)}{\cos(x+\pi/4)}$.

Limitnya menjadi: $\lim_{x \to \pi/4} \frac{\sin(\pi/4-x)}{\frac{\sin(x+\pi/4)}{\cos(x+\pi/4)}} = \lim_{x \to \pi/4} \frac{\sin(\pi/4-x) \cos(x+\pi/4)}{\sin(x+\pi/4)}$

Sekarang, mari kita evaluasi kembali pada $x = \pi/4$:
$\sin(\pi/4 - \pi/4) = \sin(0) = 0$
$\cos(\pi/4 + \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0$
$\sin(\pi/4 + \pi/4) = \sin(\pi/2) = 1$

Jadi, limitnya adalah $\frac{0 \times 0}{1} = \frac{0}{1} = 0$.

Alternatif lain menggunakan aturan L'Hôpital:
Bentuk awal limit adalah $\frac{\sin(\pi/4-x)}{\tan(x+\pi/4)}$. Saat $x \to \pi/4$, pembilang $\to \sin(0) = 0$ dan penyebut $\to \tan(\pi/2)$ yang tidak terdefinisi. Jika kita ubah soalnya sedikit, $\tan(x+\pi/4) = \cot(\pi/2 - (x+\pi/4)) = \cot(\pi/4 - x)$.

Maka limitnya menjadi: $\lim_{x \to \pi/4} \frac{\sin(\pi/4-x)}{\cot(\pi/4-x)}$.
Ketika $x \to \pi/4$, maka $\pi/4 - x \to 0$. Misalkan $y = \pi/4 - x$. Ketika $x \to \pi/4$, maka $y \to 0$.
Limitnya menjadi: $\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{\cot(y)} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{\frac{\cos(y)}{\sin(y)}} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin^2(y)}{\cos(y)}$.

Substitusi $y=0$:
$\frac{\sin^2(0)}{\cos(0)} = \frac{0^2}{1} = \frac{0}{1} = 0$.