Nilai limit x -> x^2-9/sin(x-3)=...

Nilai limitnya adalah 6. Ini dapat dihitung dengan memfaktorkan pembilang menjadi (x-3)(x+3) dan menggunakan limit dasar sin(θ)/θ = 1 saat θ mendekati 0, atau dengan menerapkan Aturan L'Hopital.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita substitusikan nilai x = 3 ke dalam ekspresi:
(3^2 - 9) / sin(3 - 3) = (9 - 9) / sin(0) = 0 / 0.
Bentuk 0/0 adalah bentuk tak tentu, yang berarti kita perlu menyederhanakan ekspresi atau menggunakan aturan L'Hopital.

Metode 1: Menggunakan identitas trigonometri dan aljabar.
Kita bisa memfaktorkan pembilang: x² - 9 = (x - 3)(x + 3).
Jadi, limitnya menjadi:
lim (x->3) [(x - 3)(x + 3) / sin(x - 3)]

Kita bisa menulis ulang ini sebagai:
lim (x->3) [(x + 3) * (x - 3) / sin(x - 3)]

Kita tahu bahwa salah satu limit dasar adalah lim (θ->0) [sin(θ) / θ] = 1. Dengan kata lain, lim (θ->0) [θ / sin(θ)] = 1.
Mari kita substitusikan u = x - 3. Ketika x -> 3, maka u -> 0.
Ekspresi menjadi:
lim (u->0) [(u + 3 + 3) * u / sin(u)]
= lim (u->0) [(u + 6) * (u / sin(u))]

Karena lim (u->0) (u / sin(u)) = 1, kita bisa memisahkan limitnya:
= [lim (u->0) (u + 6)] * [lim (u->0) (u / sin(u))]
= (0 + 6) * 1
= 6 * 1
= 6

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital.
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menerapkan Aturan L'Hopital, yang menyatakan bahwa jika lim (x->c) [f(x)/g(x)] menghasilkan 0/0 atau ∞/∞, maka limitnya sama dengan lim (x->c) [f'(x)/g'(x)], di mana f'(x) dan g'(x) adalah turunan dari f(x) dan g(x) secara berturut-turut.

Misalkan f(x) = x² - 9 dan g(x) = sin(x - 3).

Cari turunan f(x):
f'(x) = d/dx (x² - 9) = 2x

Cari turunan g(x):
g'(x) = d/dx (sin(x - 3))
Menggunakan aturan rantai, turunan dari sin(u) adalah cos(u) * du/dx. Di sini u = x - 3, jadi du/dx = 1.
Jadi, g'(x) = cos(x - 3) * 1 = cos(x - 3).

Sekarang terapkan Aturan L'Hopital:
lim (x->3) [f'(x) / g'(x)] = lim (x->3) [2x / cos(x - 3)]

Substitusikan x = 3:
= 2(3) / cos(3 - 3)
= 6 / cos(0)

Kita tahu bahwa cos(0) = 1.
= 6 / 1
= 6

Kedua metode memberikan hasil yang sama.