Nilai minimum dari fungsi f(x,y)=2x-5y dengan syarat:

-6

Pembahasan

Kita perlu mencari nilai minimum dari fungsi objektif f(x,y) = 2x - 5y dengan batasan:
1) x - 2y + 2 ≥ 0  => x - 2y ≥ -2
2) x + y ≥ 1
3) 2x - y ≤ 2   => -2x + y ≥ -2

Langkah 1: Gambar daerah yang memenuhi ketiga batasan tersebut.

Batasan 1: x - 2y = -2
Jika x=0, -2y=-2 => y=1. Titik (0,1)
Jika y=0, x=-2. Titik (-2,0)

Batasan 2: x + y = 1
Jika x=0, y=1. Titik (0,1)
Jika y=0, x=1. Titik (1,0)

Batasan 3: 2x - y = 2
Jika x=0, -y=2 => y=-2. Titik (0,-2)
Jika y=0, 2x=2 => x=1. Titik (1,0)

Daerah yang memenuhi adalah daerah di atas garis x - 2y = -2, di atas garis x + y = 1, dan di bawah garis 2x - y = 2.

Langkah 2: Tentukan titik-titik sudut (vertex) dari daerah yang memenuhi batasan.
Titik potong antara:
   a) x - 2y = -2 dan x + y = 1
      Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama:
      (x - 2y) - (x + y) = -2 - 1
      -3y = -3
      y = 1
      Substitusikan y=1 ke x + y = 1 => x + 1 = 1 => x = 0. Titik P1(0,1).

   b) x + y = 1 dan 2x - y = 2
      Jumlahkan kedua persamaan:
      (x + y) + (2x - y) = 1 + 2
      3x = 3
      x = 1
      Substitusikan x=1 ke x + y = 1 => 1 + y = 1 => y = 0. Titik P2(1,0).

   c) x - 2y = -2 dan 2x - y = 2
      Kalikan persamaan kedua dengan 2: 4x - 2y = 4
      Kurangkan persamaan pertama dari hasil perkalian:
      (4x - 2y) - (x - 2y) = 4 - (-2)
      3x = 6
      x = 2
      Substitusikan x=2 ke 2x - y = 2 => 2(2) - y = 2 => 4 - y = 2 => y = 2. Titik P3(2,2).

Langkah 3: Evaluasi fungsi objektif f(x,y) = 2x - 5y di setiap titik sudut.
   f(0,1) = 2(0) - 5(1) = -5
   f(1,0) = 2(1) - 5(0) = 2
   f(2,2) = 2(2) - 5(2) = 4 - 10 = -6

Langkah 4: Tentukan nilai minimum.
Nilai minimum dari fungsi f(x,y) adalah -6, yang terjadi di titik (2,2).