Pada gambar di bawah ini QA=1/4 QR dan QB=2/3 QP. Diberikan

$\vec{AP} = \vec{p} - \frac{3}{4}\vec{q} - \frac{1}{4}\vec{r}$ dan $\vec{AB} = \frac{2}{3}\vec{p} - \frac{5}{12}\vec{q} - \frac{1}{4}\vec{r}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan sifat-sifat vektor dan informasi yang diberikan.

Diketahui:
1. Vektor posisi titik P terhadap O adalah $\vec{OP} = \vec{p}$
2. Vektor posisi titik Q terhadap O adalah $\vec{OQ} = \vec{q}$
3. Vektor posisi titik R terhadap O adalah $\vec{OR} = \vec{r}$
4. $\vec{QA} = \frac{1}{4} \vec{QR}$
5. $\vec{QB} = \frac{2}{3} \vec{QP}$

Kita perlu mencari vektor $\vec{AP}$ dan $\vec{AB}$.

Untuk mencari vektor $\vec{AP}$, kita bisa gunakan hubungan:
$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA}$
Namun, kita belum tahu vektor $\vec{OA}$. Kita bisa mencari $\vec{OA}$ terlebih dahulu menggunakan informasi $\vec{QA} = \frac{1}{4} \vec{QR}$.

Kita tahu bahwa $\vec{QR} = \vec{OR} - \vec{OQ} = \vec{r} - \vec{q}$.
Maka, $\vec{QA} = \frac{1}{4}(\vec{r} - \vec{q})$.

Kita juga tahu bahwa $\vec{QA} = \vec{OA} - \vec{OQ}$.
Jadi, $\vec{OA} - \vec{q} = \frac{1}{4}(\vec{r} - \vec{q})$
$\vec{OA} = \vec{q} + \frac{1}{4}(\vec{r} - \vec{q})$
$\vec{OA} = \vec{q} + \frac{1}{4}\vec{r} - \frac{1}{4}\vec{q}$
$\vec{OA} = (1 - \frac{1}{4})\vec{q} + \frac{1}{4}\vec{r}$
$\vec{OA} = \frac{3}{4}\vec{q} + \frac{1}{4}\vec{r}$

Sekarang kita bisa mencari $\vec{AP}$:
$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA}$
$\vec{AP} = \vec{p} - (\frac{3}{4}\vec{q} + \frac{1}{4}\vec{r})$
$\vec{AP} = \vec{p} - \frac{3}{4}\vec{q} - \frac{1}{4}\vec{r}$

Selanjutnya, untuk mencari vektor $\vec{AB}$, kita gunakan informasi $\vec{QB} = \frac{2}{3} \vec{QP}$.
Kita tahu bahwa $\vec{QP} = \vec{OP} - \vec{OQ} = \vec{p} - \vec{q}$.
Maka, $\vec{QB} = \frac{2}{3}(\vec{p} - \vec{q})$.

Kita juga tahu bahwa $\vec{QB} = \vec{OB} - \vec{OQ}$.
Jadi, $\vec{OB} - \vec{q} = \frac{2}{3}(\vec{p} - \vec{q})$
$\vec{OB} = \vec{q} + \frac{2}{3}(\vec{p} - \vec{q})$
$\vec{OB} = \vec{q} + \frac{2}{3}\vec{p} - \frac{2}{3}\vec{q}$
$\vec{OB} = \frac{2}{3}\vec{p} + (1 - \frac{2}{3})\vec{q}$
$\vec{OB} = \frac{2}{3}\vec{p} + \frac{1}{3}\vec{q}$

Sekarang kita bisa mencari $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}$
$\vec{AB} = (\frac{2}{3}\vec{p} + \frac{1}{3}\vec{q}) - (\frac{3}{4}\vec{q} + \frac{1}{4}\vec{r})$
$\vec{AB} = \frac{2}{3}\vec{p} + \frac{1}{3}\vec{q} - \frac{3}{4}\vec{q} - \frac{1}{4}\vec{r}$
Samakan penyebut untuk suku $\vec{q}$:
$\vec{AB} = \frac{2}{3}\vec{p} + (\frac{4}{12} - \frac{9}{12})\vec{q} - \frac{1}{4}\vec{r}$
$\vec{AB} = \frac{2}{3}\vec{p} - \frac{5}{12}\vec{q} - \frac{1}{4}\vec{r}$

Jadi, vektor AP adalah $\vec{p} - \frac{3}{4}\vec{q} - \frac{1}{4}\vec{r}$ dan vektor AB adalah $\frac{2}{3}\vec{p} - \frac{5}{12}\vec{q} - \frac{1}{4}\vec{r}$.