Pada kubus ABCD.EFGH yang mempunyai rusuk=6 cm, sudut

√3/3

Pembahasan

Untuk mencari sudut antara bidang BDG dan bidang alas ABCD pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 cm:

1.  Identifikasi bidang alas dan bidang diagonal:
    Bidang alas adalah ABCD.
    Bidang BDG adalah bidang yang dibentuk oleh diagonal alas BD dan titik G.

2.  Cari garis potong kedua bidang:
    Garis potong antara bidang BDG dan bidang alas ABCD adalah diagonal alas BD.

3.  Tentukan garis pada masing-masing bidang yang tegak lurus dengan garis potong:
    Pada bidang alas ABCD, garis yang tegak lurus BD adalah garis yang melalui titik tengah BD dan sejajar dengan AB atau CD. Misalkan O adalah titik tengah BD. Maka garis yang tegak lurus BD adalah garis yang melalui O dan sejajar AB/CD.
    Pada bidang BDG, kita perlu mencari garis yang tegak lurus BD. Perhatikan segitiga BDG. Segitiga ini adalah segitiga siku-siku sama kaki karena BD adalah diagonal alas kubus, dan BG serta DG adalah diagonal sisi kubus. BG = DG = 6√2 cm. BD = 6√2 cm. Jadi segitiga BDG adalah segitiga sama sisi.

    Titik G memiliki koordinat (6, 6, 6) jika A=(0,0,0).
    Titik B memiliki koordinat (6, 0, 0).
    Titik D memiliki koordinat (0, 6, 0).
    Bidang alas ABCD terletak pada bidang z=0.

    Sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis normalnya, atau sudut antara dua garis yang terletak pada masing-masing bidang dan tegak lurus terhadap garis potongnya.

    Mari kita gunakan proyeksi:
    Kita ingin mencari sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD.
    Proyeksikan G ke bidang ABCD. Proyeksi G pada bidang ABCD adalah titik A (jika kita meletakkan A di (0,0,0), B di (6,0,0), D di (0,6,0), C di (6,6,0), E di (0,0,6), F di (6,0,6), G di (6,6,6), H di (0,6,6)).
    Ini tidak tepat. Proyeksi G pada bidang alas ABCD adalah titik C (jika kita menempatkan A di (0,0,0), B(6,0,0), D(0,6,0), C(6,6,0), E(0,0,6), F(6,0,6), G(6,6,6), H(0,6,6)).

    Titik G adalah (6,6,6).
    Bidang alas adalah z=0.
    Garis potong BD menghubungkan B(6,0,0) dan D(0,6,0).

    Kita perlu mencari sudut antara bidang BDG dan bidang ABCD.
    Misalkan kita ambil titik H pada AD (misalnya) dan titik F pada AB. Maka FH tegak lurus BD.

    Alternatif: Gunakan vektor normal.
    Vektor normal bidang ABCD adalah (0, 0, 1).
    Untuk mencari vektor normal bidang BDG, kita perlu dua vektor yang terletak pada bidang tersebut, misalnya vektor DB dan vektor DG.
    DB = B - D = (6, 0, 0) - (0, 6, 0) = (6, -6, 0)
    DG = G - D = (6, 6, 6) - (0, 6, 0) = (6, 0, 6)
    Vektor normal N1 = DB x DG = |
        i   j   k   |
        | 6  -6   0   |
        | 6   0   6   |
    N1 = i(-36 - 0) - j(36 - 0) + k(0 - (-36))
    N1 = -36i - 36j + 36k = (-36, -36, 36)

    Vektor normal bidang ABCD (bidang z=0) adalah N2 = (0, 0, 1).

    Sudut antara dua bidang adalah sudut antara vektor normalnya.
    cos a = |N1 . N2| / (|N1| * |N2|)
    N1 . N2 = (-36)(0) + (-36)(0) + (36)(1) = 36
    |N1| = sqrt((-36)^2 + (-36)^2 + 36^2) = sqrt(1296 + 1296 + 1296) = sqrt(3 * 1296) = 36 * sqrt(3)
    |N2| = sqrt(0^2 + 0^2 + 1^2) = 1

    cos a = 36 / (36 * sqrt(3) * 1) = 1 / sqrt(3) = sqrt(3) / 3

    Perhitungan lain:
    Misalkan O adalah titik tengah BD. Proyeksikan G ke bidang alas di titik C. Maka sudut yang dicari adalah sudut antara OC dan GC (garis pada bidang BDG yang tegak lurus BD). Namun, OC tidak tegak lurus BD. Garis yang tegak lurus BD pada bidang alas adalah garis yang melalui O dan sejajar AB.
    Perhatikan segitiga BCD. O adalah titik tengah BD. OC adalah setengah dari diagonal AC, jadi OC = 6√2 / 2 = 3√2. Namun, OC tidak tegak lurus BD.

    Mari kita gunakan segitiga siku-siku BFG, di mana FG adalah rusuk kubus (6) dan BF adalah rusuk kubus (6). BD adalah diagonal alas, BD = 6√2. BG adalah diagonal sisi, BG = 6√2. DG adalah diagonal sisi, DG = 6√2.
    Segitiga BDG adalah segitiga sama sisi.

    Proyeksikan titik G ke bidang alas ABCD. Proyeksi G adalah titik C. Tapi ini hanya jika kita menempatkan alas pada bidang xy dan G tepat di atas C.
    Jika kubus ABCD.EFGH, maka G berada di atas C. Jadi proyeksi G ke bidang ABCD adalah C.
    Garis potong kedua bidang adalah BD.
    Kita perlu mencari sudut antara garis GC (yang tegak lurus dengan BD di bidang BDG, karena segitiga BDG sama sisi) dan garis dari C yang tegak lurus BD di bidang alas ABCD.
    Garis dari C yang tegak lurus BD di bidang alas ABCD adalah garis CO, di mana O adalah titik tengah BD.

    Jadi, sudut a adalah sudut antara GC dan OC, yaitu sudut GCO.
    Kita punya segitiga GCO, siku-siku di C (karena GC tegak lurus bidang ABCD).
    GC = rusuk kubus = 6 cm.
    OC = setengah dari diagonal alas AC. Diagonal alas AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(6^2 + 6^2) = sqrt(36 + 36) = sqrt(72) = 6√2.
    OC = 1/2 * AC = 1/2 * 6√2 = 3√2.

    Dalam segitiga siku-siku GCO:
    tan(a) = GC / OC = 6 / (3√2) = 2 / √2 = √2.
    cos(a) = OC / GC jika sudut GOC yang dicari. Tapi sudutnya GCO.

    Menggunakan cosinus pada segitiga GCO:
    cos(sudut GOC) = OC / GC = 3√2 / 6 = √2 / 2. Maka sudut GOC = 45 derajat.
    Tapi yang dicari adalah sudut antara bidang BDG dan bidang alas ABCD, yaitu sudut GCO.

    Dalam segitiga siku-siku GCO:
    cos(a) = OC / GO (hipotenusa)
    GO = sqrt(GC^2 + OC^2) = sqrt(6^2 + (3√2)^2) = sqrt(36 + 18) = sqrt(54) = 3√6.
    cos(a) = (3√2) / (3√6) = √2 / √6 = sqrt(1/3) = 1/√3 = √3/3.

    Jadi, cos a = √3/3.