Parabola y=px^2-(1+p)x+3-p mempunyai titik minimum yang

Nilai p adalah 1 atau 3/5.

Pembahasan

Parabola y = px^2 - (1+p)x + 3 - p mempunyai titik minimum. Absis dari titik minimum (atau titik puncak) parabola adalah -b/(2a). Dalam kasus ini, a = p, b = -(1+p), dan c = 3-p.

Absis titik minimum = -(-(1+p))/(2p) = (1+p)/(2p).

Karena titik minimumnya mempunyai absis yang sama dengan ordinatnya, maka kita dapat menyamakan absis dengan nilai y pada titik tersebut.

y = px^2 - (1+p)x + 3 - p
Karena absis = ordinat, maka kita bisa mengganti y dengan x:
x = px^2 - (1+p)x + 3 - p

Kita juga tahu bahwa absis titik minimum adalah (1+p)/(2p). Jadi, kita bisa mengganti x dengan (1+p)/(2p):
(1+p)/(2p) = p * ((1+p)/(2p))^2 - (1+p) * ((1+p)/(2p)) + 3 - p
(1+p)/(2p) = p * (1+p)^2 / (4p^2) - (1+p)^2 / (2p) + 3 - p
(1+p)/(2p) = (1+p)^2 / (4p) - 2(1+p)^2 / (4p) + 3 - p
(1+p)/(2p) = - (1+p)^2 / (4p) + 3 - p

Kalikan kedua sisi dengan 4p untuk menghilangkan penyebut:
2(1+p) = - (1+p)^2 + 4p(3 - p)
2 + 2p = - (1 + 2p + p^2) + 12p - 4p^2
2 + 2p = -1 - 2p - p^2 + 12p - 4p^2
2 + 2p = -5p^2 + 10p - 1

Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk persamaan kuadrat:
5p^2 + 2p - 10p + 1 + 2 = 0
5p^2 - 8p + 3 = 0

Faktorkan persamaan kuadrat:
(5p - 3)(p - 1) = 0

Ini memberikan dua kemungkinan nilai untuk p:
5p - 3 = 0  => p = 3/5
p - 1 = 0  => p = 1

Namun, untuk parabola memiliki titik minimum, koefisien dari x^2 (yaitu p) harus positif. Kedua nilai p=3/5 dan p=1 adalah positif.
Kita perlu memeriksa kembali kondisi absis = ordinat. 
Jika p=1, absis = (1+1)/(2*1) = 1. Jika x=1, y = 1*(1)^2 - (1+1)*1 + 3-1 = 1 - 2 + 2 = 1. Jadi, absis = ordinat = 1. Nilai p=1 memenuhi.
Jika p=3/5, absis = (1+3/5)/(2*3/5) = (8/5)/(6/5) = 8/6 = 4/3. Jika x=4/3, y = (3/5)*(4/3)^2 - (1+3/5)*(4/3) + 3 - 3/5 = (3/5)*(16/9) - (8/5)*(4/3) + 12/5 = 16/15 - 32/15 + 36/15 = (16 - 32 + 36)/15 = 20/15 = 4/3. Jadi, absis = ordinat = 4/3. Nilai p=3/5 juga memenuhi.

Soal ini meminta "nilai p", yang mengimplikasikan mungkin hanya ada satu jawaban atau kita harus memilih yang paling umum. Dalam konteks kurikulum, seringkali bentuk yang lebih sederhana lebih disukai. Namun, kedua nilai tersebut valid secara matematis berdasarkan informasi yang diberikan.