Penyelesaian dari pertidaksamaan 3 log (x^2+4x)<1/3 log 1/5

Penyelesaiannya adalah -2 - sqrt(4 + 5^(-1/9)) < x < -4 atau 0 < x < -2 + sqrt(4 + 5^(-1/9)).

Pembahasan

Pertidaksamaan yang diberikan adalah 3 log (x^2+4x) < 1/3 log 1/5.
Pertama, kita perlu menyederhanakan ruas kanan. Ingat bahwa 1/3 log 1/5 = -1/3 log 5.
Pertidaksamaan menjadi: 3 log (x^2+4x) < -1/3 log 5
Untuk menyamakan basis logaritma, kita bisa mengubah 3 log menjadi basis yang sama dengan -1/3 log. Namun, ini akan rumit. Mari kita gunakan sifat logaritma lainnya.
Ubah basis logaritma di ruas kanan menjadi 3:
1/3 log 1/5 = log_{1/5} (1/3) = log_{5^{-1}} (3^{-1}) = (-1/-1) log_5 3 = log_5 3

Atau, kita ubah basis di ruas kiri menjadi 1/3:
3 log (x^2+4x) = log_{(1/3)^{-1}} (x^2+4x) = log_{1/3} (x^2+4x)^{-1} = -log_{1/3} (x^2+4x)^{-1}
Ini juga kurang efisien.

Mari kita gunakan sifat perpangkatan pada logaritma:
3 log (x^2+4x) < 1/3 log (5^{-1})
3 log (x^2+4x) < -1/3 log 5
Kalikan kedua ruas dengan 3:
9 log (x^2+4x) < -log 5
log (x^2+4x)^9 < log 5^{-1}
log (x^2+4x)^9 < log (1/5)

Karena basis logaritma (3) lebih besar dari 1, maka:
(x^2+4x)^9 < 1/5

Kita juga harus mempertimbangkan syarat numerus logaritma, yaitu x^2+4x > 0.
x(x+4) > 0
Ini berarti x < -4 atau x > 0.

Sekarang kita selesaikan (x^2+4x)^9 < 1/5.
Ambil akar pangkat 9 dari kedua sisi:
x^2+4x < (1/5)^(1/9)
x^2+4x < 5^(-1/9)
x^2+4x - 5^(-1/9) < 0

Untuk mencari nilai x, kita perlu mencari akar dari persamaan kuadrat x^2+4x - 5^(-1/9) = 0.
Menggunakan rumus kuadratik: x = [-b ± sqrt(b^2 - 4ac)] / 2a
Dalam kasus ini, a=1, b=4, c = -5^(-1/9).
x = [-4 ± sqrt(4^2 - 4 * 1 * (-5^(-1/9)))] / 2 * 1
x = [-4 ± sqrt(16 + 4 * 5^(-1/9))] / 2
x = [-4 ± 2 * sqrt(4 + 5^(-1/9))] / 2
x = -2 ± sqrt(4 + 5^(-1/9))

Jadi, penyelesaian pertidaksamaan adalah -2 - sqrt(4 + 5^(-1/9)) < x < -2 + sqrt(4 + 5^(-1/9)).

Kita juga harus menggabungkannya dengan syarat numerus x < -4 atau x > 0.
Karena 5^(-1/9) adalah bilangan positif yang kecil, maka sqrt(4 + 5^(-1/9)) akan sedikit lebih besar dari 2.
Jadi, -2 + sqrt(4 + 5^(-1/9)) akan sedikit lebih besar dari 0.
Dan -2 - sqrt(4 + 5^(-1/9)) akan sedikit lebih kecil dari -4.

Maka, penyelesaian yang memenuhi kedua kondisi adalah:
-2 - sqrt(4 + 5^(-1/9)) < x < -4 atau 0 < x < -2 + sqrt(4 + 5^(-1/9)).

Jika soal ini berasal dari pilihan ganda, bentuk jawabannya mungkin disederhanakan atau menggunakan notasi yang berbeda.