Perhatikan gambar berikut. Diketahui panjang BC=20 cm. a.

a. Luas segitiga ABC = 20√30 cm². b. Panjang AD = 2√30 cm.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menghitung luas segitiga ABC dan panjang AD berdasarkan informasi yang diberikan pada gambar.

Diketahui:
- Segitiga ABC
- Panjang BC = 20 cm
- AC = 17 cm
- CD = 13 cm
- AD tegak lurus BC (ditunjukkan oleh sudut siku-siku di D)

a. Menghitung luas segitiga ABC:
Luas segitiga = 1/2 * alas * tinggi.
Dalam segitiga ABC, kita bisa menggunakan BC sebagai alas. Namun, tinggi segitiga yang tegak lurus dengan BC belum diketahui secara langsung. Tinggi segitiga ABC dari titik A ke alas BC adalah panjang AD.

Untuk mencari panjang AD, kita bisa menggunakan Teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku ADC dan ADB.
Misalkan BD = x. Maka DC = BC - BD = 20 - x.

Pada segitiga ADC:
AC^2 = AD^2 + DC^2
17^2 = AD^2 + (20 - x)^2
289 = AD^2 + 400 - 40x + x^2  (Persamaan 1)

Pada segitiga ADB:
AB^2 = AD^2 + BD^2
AB^2 = AD^2 + x^2  (Persamaan 2)

Kita juga bisa menggunakan segitiga ADC untuk mencari AD jika kita mengetahui DC. Namun, kita diberi CD = 13 cm, bukan DC. Asumsikan D terletak di antara B dan C, dan panjang segmen CD adalah 13 cm. Maka panjang BD = BC - CD = 20 - 13 = 7 cm.

Sekarang kita bisa menghitung AD menggunakan segitiga ADC atau ADB.

Menggunakan segitiga ADC:
AC^2 = AD^2 + CD^2
17^2 = AD^2 + 13^2
289 = AD^2 + 169
AD^2 = 289 - 169
AD^2 = 120
AD = √120 = √(4 * 30) = 2√30 cm.

Perhatikan bahwa gambar tidak konsisten dengan informasi yang diberikan. Jika D adalah titik pada BC, dan AC = 17 cm, CD = 13 cm, maka AD = 2√30 cm. Jika kita menggunakan informasi ini untuk menghitung luas:
Luas Segitiga ABC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * BC * AD
Luas Segitiga ABC = 1/2 * 20 cm * 2√30 cm
Luas Segitiga ABC = 20√30 cm².

Namun, mari kita periksa apakah segitiga ABC konsisten dengan panjang AB. Kita perlu mengetahui AB untuk menghitung luas dengan alas lain, atau jika kita ingin memverifikasi konsistensi data.

Asumsi kedua: Mungkin panjang AD diberikan sebagai 13 cm, dan kita perlu mencari yang lain. Tapi soal meminta panjang AD. Mari kita kembali ke interpretasi pertama di mana CD=13cm.

Periksa kembali gambar. Gambar menunjukkan C, D, B berurutan di garis, dengan D di antara C dan B. Ini berarti CB = CD + DB. Namun, soal menyatakan BC = 20 cm dan gambar menunjukkan CD = 13 cm. Jika D ada di antara C dan B, maka CB = CD + DB. Soal juga memberikan AC = 17 cm.

Jika kita mengasumsikan bahwa D adalah titik pada BC sehingga CD = 13 cm, maka DB = BC - CD = 20 - 13 = 7 cm. Ini sesuai dengan gambar.

Sekarang, kita hitung AD menggunakan Pythagoras pada segitiga ADC:
AC^2 = AD^2 + CD^2
17^2 = AD^2 + 13^2
289 = AD^2 + 169
AD^2 = 120
AD = √120 = 2√30 cm.

Sekarang kita hitung luas segitiga ABC menggunakan alas BC dan tinggi AD:
Luas Segitiga ABC = 1/2 * alas * tinggi
Luas Segitiga ABC = 1/2 * BC * AD
Luas Segitiga ABC = 1/2 * 20 cm * 2√30 cm
Luas Segitiga ABC = 20√30 cm².

b. Menghitung panjang AB:
Kita gunakan Pythagoras pada segitiga ADB:
AB^2 = AD^2 + BD^2
AB^2 = (√120)^2 + 7^2
AB^2 = 120 + 49
AB^2 = 169
AB = √169
AB = 13 cm.

Jadi, jika CD = 13 cm, maka AD = 2√30 cm, Luas ABC = 20√30 cm², dan AB = 13 cm.

Perlu dicatat bahwa ada potensi ambiguitas dalam penempatan titik D atau interpretasi panjang segmen pada gambar.

Jika kita mengasumsikan bahwa soal memberikan panjang AD = 13 cm (seperti yang tertulis di dekat A di gambar, meskipun ini tidak jelas) dan CD = 13 cm, maka kita akan mendapatkan hasil yang berbeda.

Mari kita ikuti interpretasi yang paling masuk akal dari teks dan gambar:
BC = 20 cm.
AC = 17 cm.
CD = 13 cm (titik D ada pada BC).
AD adalah tinggi.

a. Luas Segitiga ABC:
Pertama, cari panjang AD. Dari segitiga siku-siku ADC:
AD^2 = AC^2 - CD^2
AD^2 = 17^2 - 13^2
AD^2 = 289 - 169
AD^2 = 120
AD = √120 = 2√30 cm.

Luas Segitiga ABC = 1/2 * alas * tinggi = 1/2 * BC * AD
Luas Segitiga ABC = 1/2 * 20 * 2√30
Luas Segitiga ABC = 20√30 cm².

b. Panjang AD:
Seperti yang dihitung di atas, panjang AD = 2√30 cm.

Jika interpretasi gambar adalah bahwa AD = 13 cm, maka:

a. Luas Segitiga ABC = 1/2 * BC * AD = 1/2 * 20 * 13 = 130 cm².
b. Panjang AD = 13 cm (diberikan).
Namun, informasi AC = 17 cm dan CD = 13 cm menjadi tidak konsisten jika AD = 13 cm, karena dalam segitiga siku-siku ADC, hipotenusa (AC) harus lebih panjang dari sisi lainnya (AD dan CD). 17 > 13, jadi ini mungkin.
Jika AD = 13, maka CD^2 = AC^2 - AD^2 = 17^2 - 13^2 = 289 - 169 = 120. CD = √120 = 2√30 ≈ 10.95 cm. Ini bertentangan dengan CD = 13 cm yang diberikan.

Oleh karena itu, interpretasi pertama (CD = 13 cm, AC = 17 cm) adalah yang paling konsisten untuk menghitung AD.

Jawaban berdasarkan interpretasi CD = 13 cm:
a. Luas segitiga ABC = 20√30 cm².
b. Panjang AD = 2√30 cm.