Command Palette

Search for a command to run...

Kelas 9Kelas 8Kelas 7mathGeometri

Perhatikan gambar di bawah ini!Diketahui segitiga ABC sama

Pertanyaan

Perhatikan gambar di bawah ini!Diketahui segitiga ABC sama kaki. AC=BC. Titik P sembarang pada alas AB. Q pada AC sehingga PQ tegak lurus AC. R pada BC sehingga PR tegak lurus BC. Buktikan PQ+PR=AS, di mana AS adalah garis tinggi ke salah satu kaki segitiga!

Solusi

Verified

Bukti menggunakan trigonometri: PQ = AP sin(A), PR = BP sin(B). Karena A=B, PQ+PR = (AP+BP)sin(A) = AB sin(A). AS = AB sin(A) (garis tinggi dari A ke BC). Jadi PQ+PR=AS.

Pembahasan

Untuk membuktikan PQ + PR = AS pada segitiga sama kaki ABC dengan AC = BC, di mana P adalah titik sembarang pada AB, Q pada AC sehingga PQ tegak lurus AC, R pada BC sehingga PR tegak lurus BC, dan AS adalah garis tinggi ke salah satu kaki segitiga (misalnya AS tegak lurus BC): Kita dapat menggunakan konsep luas segitiga. Misalkan panjang kaki segitiga AC = BC = b, dan alas AB = a. Misalkan tinggi segitiga dari C ke AB adalah h_c. Misalkan tinggi segitiga dari A ke BC (yaitu AS) adalah h_a. Luas segitiga ABC dapat dihitung dengan dua cara: 1. Luas = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * a * h_c 2. Luas = (1/2) * alas * tinggi = (1/2) * BC * AS = (1/2) * b * h_a Sekarang, perhatikan segitiga ABC dari sudut pandang titik P di alas AB. Kita dapat membagi luas segitiga ABC menjadi jumlah luas segitiga APQ, PBR, dan PQR (meskipun ini bukan cara yang paling langsung). Cara yang lebih efektif adalah dengan melihat luas segitiga ABC sebagai jumlah luas segitiga APC dan PBC. Luas segitiga APC = (1/2) * AC * PQ (jika kita menganggap PQ sebagai tinggi dari P ke AC, tetapi ini tidak benar karena PQ tegak lurus AC, jadi ini adalah tinggi dari P ke alas AC). Luas segitiga PBC = (1/2) * BC * PR (jika kita menganggap PR sebagai tinggi dari P ke BC, tetapi ini tidak benar karena PR tegak lurus BC, jadi ini adalah tinggi dari P ke alas BC). Mari kita gunakan pendekatan lain. Gambarkan garis dari P yang sejajar dengan AC dan BC. Sebuah metode pembuktian yang umum untuk jenis soal ini adalah dengan menggunakan kesebangunan atau proyeksi. Alternatif lain: Gunakan luas. Luas Segitiga ABC = Luas Segitiga APC + Luas Segitiga BPC. Luas Segitiga ABC = (1/2) * AC * h_p_ke_AC + (1/2) * BC * h_p_ke_BC Ini juga tidak langsung. Mari kita fokus pada PQ dan PR. Perhatikan segitiga ABC. Titik P ada di AB. Q di AC, R di BC. PQ tegak lurus AC, PR tegak lurus BC. AS adalah garis tinggi ke BC (AS ⊥ BC). Kita ingin membuktikan PQ + PR = AS. Misalkan ∠BAC = ∠ABC = α (karena segitiga sama kaki). ∠ACB = β. Dalam segitiga siku-siku PQA (sudut ∠AQP = 90°), jika kita memproyeksikan AP ke AC, kita mendapatkan AQ. Namun, PQ bukan tinggi. Mari kita coba lagi dengan luas: Luas ΔABC = Luas ΔAPC + Luas ΔBPC Luas ΔAPC = (1/2) * AC * (tinggi dari P ke AC) Luas ΔBPC = (1/2) * BC * (tinggi dari P ke BC) Ini juga tidak secara langsung memberikan PQ dan PR. Pembuktian yang lebih umum melibatkan penggunaan sudut dan trigonometri, atau pemindahan area. Metode dengan Luas: Jumlahkan luas segitiga APQ dan BPR tidak secara langsung berhubungan dengan luas total. Mari kita pertimbangkan luas segitiga AP C dan BP C. Luas(APC) = 1/2 * AC * PQ (Ini salah, PQ bukan tinggi ke AC) Luas(BPC) = 1/2 * BC * PR (Ini salah, PR bukan tinggi ke BC) Cara yang benar adalah melihat titik P dan jaraknya ke sisi-sisi yang membentuk sudut P. Q dan R adalah titik proyeksi tegak lurus. Misalkan kita tarik garis dari P ke C. Luas(ABC) = Luas(APC) + Luas(BPC) Luas(APC) = (1/2) * AP * (tinggi dari C ke AB) Luas(APC) = (1/2) * PC * (tinggi dari A ke PC) Ini menjadi rumit. Mari gunakan properti berikut: Luas segitiga dapat dihitung sebagai 1/2 * sisi * sisi * sin(sudut di antaranya). Perhatikan gambar: Segitiga ABC sama kaki, AC=BC. P di AB. Q di AC, PQ ⊥ AC. R di BC, PR ⊥ BC. AS ⊥ BC. Kita dapat menggunakan luas segitiga ABC dalam kaitannya dengan titik P: Luas(ABC) = Luas(APC) + Luas(BPC) Ini jika P adalah titik di dalam, tetapi P ada di alas AB. Jika P ada di alas AB, maka Luas(ABC) = Luas(APC) + Luas(BPC) TIDAK BENAR. Kembali ke soal: P sembarang pada alas AB. Q pada AC, PQ ⊥ AC. R pada BC, PR ⊥ BC. AS adalah garis tinggi ke salah satu kaki segitiga (AS ⊥ BC). Ini adalah masalah klasik yang dapat dibuktikan menggunakan luas segitiga. Misalkan luas segitiga ABC adalah L. Kita bisa menyatakan L sebagai jumlah luas segitiga yang dibentuk oleh titik P dan dua simpul lainnya. L = Luas(APC) + Luas(BPC) - ini jika P di dalam. Kita tahu Luas(ABC) = 1/2 * BC * AS = 1/2 * b * h_a Sekarang, mari kita lihat luas segitiga APC dan BPC dari perspektif P. Jika kita memproyeksikan P ke AC (yaitu Q) dan ke BC (yaitu R), maka: Luas(APC) = 1/2 * AC * PQ (Ini benar jika PQ adalah tinggi dari P ke AC, tetapi PQ adalah proyeksi, bukan tinggi dari P ke alas AC). Ini adalah pembuktian menggunakan luas yang agak non-standar. Metode Pembuktian yang Benar: Gambar sebuah titik P pada alas AB. Tarik garis PQ ⊥ AC dan PR ⊥ BC. Kita ingin membuktikan PQ + PR = AS, di mana AS adalah garis tinggi ke salah satu kaki (misalnya BC). Misalkan ∠BAC = ∠ABC = α. Misalkan ∠BCA = β. Dalam segitiga siku-siku PQA, ∠PAQ = α. Maka PQ = AP sin(α). Dalam segitiga siku-siku PRB, ∠PBR = α. Maka PR = BP sin(α). Jadi, PQ + PR = AP sin(α) + BP sin(α) = (AP + BP) sin(α). Karena P terletak pada alas AB, maka AP + BP = AB. Jadi, PQ + PR = AB sin(α). Sekarang, mari kita lihat garis tinggi AS pada kaki BC. Dalam segitiga siku-siku ASC (AS ⊥ BC), ∠ACS = β dan ∠CAS = 90° - β. Ini tidak membantu secara langsung. Mari kita lihat segitiga ABC secara keseluruhan. AS adalah garis tinggi ke BC. AS ⊥ BC. Dalam segitiga siku-siku ASB (jika S pada perpanjangan BC, atau ABS jika S di BC), kita punya ∠ABS = α. Jika kita melihat segitiga ABC dari sudut A, dan garis tinggi AS pada BC. Dalam segitiga siku-siku ABS (dengan S pada BC), ∠ABS = α. Maka AS = AB sin(α). Jadi, kita punya PQ + PR = AB sin(α) dan AS = AB sin(α). Oleh karena itu, PQ + PR = AS. Ini adalah bukti geometris menggunakan trigonometri. Langkah-langkah Rinci: 1. Identifikasi segitiga siku-siku yang dibentuk oleh proyeksi P. - Segitiga yang dibentuk oleh P, Q, dan A adalah segitiga siku-siku PQA (dengan ∠PQA = 90°). - Segitiga yang dibentuk oleh P, R, dan B adalah segitiga siku-siku PRB (dengan ∠PRB = 90°). 2. Gunakan trigonometri pada segitiga PQA. - Sudut ∠PAQ adalah salah satu sudut alas segitiga ABC, sebut saja α (∠BAC = α). - Dalam segitiga siku-siku PQA, PQ adalah sisi di depan sudut α, dan AP adalah sisi miringnya. - Maka, sin(α) = PQ / AP => PQ = AP sin(α). 3. Gunakan trigonometri pada segitiga PRB. - Sudut ∠PBR adalah sudut alas segitiga ABC lainnya, juga α (∠ABC = α). - Dalam segitiga siku-siku PRB, PR adalah sisi di depan sudut α, dan BP adalah sisi miringnya. - Maka, sin(α) = PR / BP => PR = BP sin(α). 4. Jumlahkan PQ dan PR. - PQ + PR = AP sin(α) + BP sin(α) - PQ + PR = (AP + BP) sin(α) 5. Gunakan fakta bahwa P terletak pada alas AB. - AP + BP = AB (panjang alas AB). - Maka, PQ + PR = AB sin(α). 6. Hubungkan dengan garis tinggi AS. - AS adalah garis tinggi dari C ke BC, atau dari A ke BC (tergantung interpretasi 'garis tinggi ke salah satu kaki'). Jika AS adalah garis tinggi dari A ke BC, maka AS ⊥ BC. - Pertanyaannya mengatakan 'S pada BC sehingga AS adalah garis tinggi'. Ini berarti AS adalah garis tinggi dari A ke sisi BC. Namun, AS biasanya merujuk pada tinggi dari C ke AB, atau dari B ke AC. - Mari kita asumsikan AS adalah garis tinggi dari C ke AB (h_c) atau dari A ke BC (h_a). - Jika AS adalah garis tinggi dari A ke BC (tegak lurus BC), maka dalam segitiga siku-siku yang dibentuk oleh A, S, dan B (AS ⊥ BC), kita punya ∠ABS = α. - Maka, sin(α) = AS / AB => AS = AB sin(α). - (Penting: Ini mengasumsikan S terletak pada BC. Jika S ada di perpanjangan BC, ini tetap berlaku untuk segitiga ABS). Kesimpulan: Karena PQ + PR = AB sin(α) dan AS = AB sin(α), maka terbukti bahwa PQ + PR = AS.

Buka akses pembahasan jawaban

Topik: Segitiga
Section: Garis Tinggi, Sifat Segitiga Sama Kaki

Apakah jawaban ini membantu?