Persamaan lingkaran (x+1)^2+y^2=9 menyinggung garis ax+b

Nilai a^2 /(a^2+b^2) adalah 1.

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah (x+1)² + y² = 9. Dari persamaan ini, kita dapat mengidentifikasi:
- Pusat lingkaran (h, k) = (-1, 0)
- Jari-jari lingkaran r = √9 = 3

Persamaan garis yang menyinggung lingkaran adalah ax + by = 2a.

Syarat garis menyinggung lingkaran adalah jarak dari pusat lingkaran ke garis tersebut sama dengan jari-jari lingkaran.

Rumus jarak dari titik (x₀, y₀) ke garis Ax + By + C = 0 adalah:
d = |Ax₀ + By₀ + C| / √(A² + B²)

Dalam kasus ini, pusat lingkaran adalah (-1, 0) dan jari-jarinya adalah 3.
Garis singgungnya adalah ax + by - 2a = 0 (setelah dipindahkan konstanta ke sisi kiri).
Jadi, A = a, B = b, C = -2a, x₀ = -1, y₀ = 0.

Jarak (d) = |a(-1) + b(0) - 2a| / √(a² + b²)
d = |-a - 2a| / √(a² + b²)
d = |-3a| / √(a² + b²)
d = 3|a| / √(a² + b²)

Karena garis menyinggung lingkaran, maka jarak (d) sama dengan jari-jari (r = 3):
3|a| / √(a² + b²) = 3

Bagi kedua sisi dengan 3:
|a| / √(a² + b²) = 1

Kuadratkan kedua sisi:
(a²) / (a² + b²) = 1²
a² / (a² + b²) = 1

Kalikan kedua sisi dengan (a² + b²):
a² = a² + b²

Kurangkan a² dari kedua sisi:
0 = b²
Ini berarti b = 0.

Jika b = 0, maka persamaan garis menjadi ax = 2a. Jika a ≠ 0, maka x = 2. Garis x = 2 ini memang menyinggung lingkaran (x+1)² + y² = 9 di titik (2, 0), karena jarak dari pusat (-1, 0) ke garis x = 2 adalah |-1 - 2| = 3, yang sama dengan jari-jari.

Sekarang kita diminta untuk mencari nilai dari a² / (a² + b²).
Karena kita menemukan bahwa b = 0, substitusikan nilai ini:
a² / (a² + 0²) = a² / a²

Jika a ≠ 0, maka a²/a² = 1.

Jika a = 0, maka persamaan garis menjadi 0 = 0, yang bukan merupakan garis singgung. Jadi, kita harus mengasumsikan a ≠ 0.

Oleh karena itu, nilai dari a² / (a² + b²) adalah 1.