Polinom f(x) jika dibagi x-1 bersisa 4 dan bila dibagi x-3

Sisa pembagiannya adalah -20x + 28.

Pembahasan

Untuk menjawab soal ini, kita perlu menggunakan teorema sisa dan konsep pembagian polinom. 

Diketahui:
Polinom f(x) jika dibagi (x-1) bersisa 4, maka f(1) = 4.
Polinom f(x) jika dibagi (x-3) bersisa -5, maka f(3) = -5.
Polinom g(x) jika dibagi (x-1) bersisa 2, maka g(1) = 2.
Polinom g(x) jika dibagi (x+3) bersisa 4, maka g(-3) = 4.

Ditanya:
Sisa pembagian h(x) = f(x)g(x) oleh x^2 + 2x - 3.

Langkah-langkah:
1. Faktorkan pembagi x^2 + 2x - 3 = (x+3)(x-1).
2. Misalkan sisa pembagian h(x) oleh x^2 + 2x - 3 adalah Ax + B.
Maka, h(x) = (x^2 + 2x - 3) Q(x) + Ax + B.
   h(x) = (x+3)(x-1) Q(x) + Ax + B.
3. Gunakan informasi yang diketahui untuk mencari nilai A dan B.
   h(1) = f(1)g(1) = (1+3)(1-1) Q(1) + A(1) + B
   h(1) = 4 * 2 = 0 * Q(1) + A + B
   8 = A + B  ...(persamaan 1)

   h(-3) = f(-3)g(-3)
   Untuk mencari f(-3), kita perlu membentuk persamaan berdasarkan informasi f(1)=4 dan f(3)=-5. Kita bisa mengasumsikan f(x) = ax + b (karena pembaginya linear). Namun, jika f(x) adalah polinom berderajat lebih tinggi, kita perlu menggunakan teorema sisa yang lebih umum. 
   Mari kita asumsikan pembagian dengan (x-1) dan (x-3) berarti sisa pembagiannya adalah linear. Maka, kita dapat menulis:
f(x) = (x-1)(x-3)Q1(x) + px + q
f(1) = p + q = 4
f(3) = 3p + q = -5
Dengan mengurangkan kedua persamaan: 2p = -9, maka p = -9/2.
Substitusikan p ke persamaan pertama: -9/2 + q = 4, maka q = 4 + 9/2 = 17/2.
Jadi, f(x) = (x-1)(x-3)Q1(x) - 9/2 x + 17/2.
Maka, f(-3) = (-3-1)(-3-3)Q1(-3) - 9/2(-3) + 17/2
f(-3) = (-4)(-6)Q1(-3) + 27/2 + 17/2
f(-3) = 24Q1(-3) + 44/2 = 24Q1(-3) + 22.
Karena informasi tentang Q1(-3) tidak diberikan, kita perlu pendekatan lain.

Alternatif: Kita langsung menggunakan h(-3).
   h(-3) = f(-3)g(-3)
   Kita tahu g(-3) = 4.
   Kita perlu mencari f(-3). Dari f(1)=4 dan f(3)=-5, kita dapat mengasumsikan f(x) = mx+c. Maka:
f(1) = m+c = 4
f(3) = 3m+c = -5
Kurangkan persamaan pertama dari kedua: 2m = -9, m = -9/2.
Substitusikan m ke persamaan pertama: -9/2 + c = 4, c = 4 + 9/2 = 17/2.
Jadi, f(x) = -9/2 x + 17/2.
 Maka, f(-3) = -9/2 (-3) + 17/2 = 27/2 + 17/2 = 44/2 = 22.

   Sekarang kita hitung h(-3):
h(-3) = f(-3)g(-3) = 22 * 4 = 88.

   Dari h(x) = (x+3)(x-1) Q(x) + Ax + B:
h(-3) = (-3+3)(-3-1) Q(-3) + A(-3) + B
h(-3) = 0 * (-4) * Q(-3) - 3A + B
88 = -3A + B  ...(persamaan 2)

4. Selesaikan sistem persamaan linear:
   Persamaan 1: A + B = 8
   Persamaan 2: -3A + B = 88
Kurangkan persamaan 2 dari persamaan 1:
   (A + B) - (-3A + B) = 8 - 88
   A + B + 3A - B = -80
   4A = -80
   A = -20

   Substitusikan nilai A ke persamaan 1:
   -20 + B = 8
   B = 8 + 20
   B = 28

Jadi, sisa pembagian h(x) oleh x^2 + 2x - 3 adalah -20x + 28.