Sebelas orang anggota KIR (Kelompok Ilmiah Remaja)

a. 6930 cara, b. 6930 cara

Pembahasan

Sebelas orang anggota KIR akan dibagi ke dalam 3 mobil dengan kapasitas masing-masing 5 orang, 2 orang, dan 4 orang.

a. Jumlah total kapasitas mobil adalah $5 + 2 + 4 = 11$ orang, yang sama dengan jumlah anggota KIR. Kita perlu mencari banyaknya cara membagi 11 orang ke dalam tiga kelompok dengan ukuran 5, 2, dan 4.

Ini adalah masalah permutasi kombinasi. Banyaknya cara adalah kombinasi dari 11 orang untuk kelompok pertama (5 orang), dikalikan kombinasi dari sisa orang untuk kelompok kedua (2 orang), dan sisanya untuk kelompok ketiga (4 orang).

Banyak cara = C(11, 5) $\times$ C(6, 2) $\times$ C(4, 4)
C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)

C(11, 5) = $11! / (5! * 6!) = (11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7) / (5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1) = 11 \times 2 \times 3 \times 7 = 462$
C(6, 2) = $6! / (2! * 4!) = (6 \times 5) / (2 \times 1) = 15$
C(4, 4) = $4! / (4! * 0!) = 1$

Total cara = $462 \times 15 \times 1 = 6930$ cara.

b. Jika satu orang tidak jadi berangkat, maka ada 10 orang anggota KIR yang tersisa. Kapasitas mobil tetap sama: 5 orang, 2 orang, dan 4 orang. Jumlah total kapasitas mobil adalah $5 + 2 + 4 = 11$ orang, tetapi sekarang hanya ada 10 orang yang perlu dibagi.

Ini berarti salah satu mobil tidak akan terisi penuh, atau ada kapasitas yang tidak terpakai. Namun, cara pembagiannya tetap sama: membagi 10 orang ke dalam tiga kelompok dengan ukuran maksimal 5, 2, dan 4. Kita perlu mempertimbangkan kasus di mana kapasitas mobil tidak terisi penuh.

Kasus 1: Kapasitas mobil tidak terpakai.
Kita perlu membagi 10 orang ke dalam kelompok (5, 2, 3), (5, 1, 4), (4, 2, 4), (3, 2, 4), (5, 0, 4) - ini tidak mungkin karena minimal 1 orang per mobil jika digunakan.
Lebih tepatnya, kita perlu memastikan bahwa jumlah orang di setiap mobil tidak melebihi kapasitasnya dan jumlah totalnya adalah 10.

Mari kita asumsikan pembagiannya adalah ke dalam mobil dengan kapasitas 5, 2, dan 4, dan kita harus mengisi 10 orang ke dalamnya.
Ini bisa berarti mobil dengan kapasitas 4 hanya diisi 3 orang, atau mobil kapasitas 5 diisi 4 orang, dll.

Cara yang lebih mudah adalah dengan menghitung total cara untuk membagi 10 orang ke dalam grup berukuran 5, 2, dan 3 (mengabaikan kapasitas mobil ke-4 yang tidak terpakai untuk saat ini) dan kemudian memperhitungkan bahwa grup terakhir ini bisa masuk ke mobil mana saja.

Atau, kita bisa langsung menghitung cara membagi 10 orang ke dalam kelompok berukuran (5, 2, 3) atau (5, 1, 4) atau (4, 2, 4) atau (3, 2, 4).

Mari kita hitung dengan memikirkan penempatan orang satu per satu ke dalam mobil yang tersedia:

Cara 1: Menggunakan cara yang sama seperti sebelumnya, tetapi menyesuaikan jumlah orang. Kita perlu membagi 10 orang ke dalam kelompok berukuran 5, 2, dan 3 (karena mobil kapasitas 4 hanya bisa diisi maksimal 3 jika total 10 orang).
   C(10, 5) $\times$ C(5, 2) $\times$ C(3, 3) = $252 \times 10 \times 1 = 2520$ cara.

Namun, ini mengasumsikan mobil dengan kapasitas 4 diisi 3 orang. Bagaimana jika mobil kapasitas 2 hanya diisi 1 orang, dan mobil kapasitas 4 diisi 4 orang? Yaitu, pembagian (5, 1, 4).
   C(10, 5) $\times$ C(5, 1) $\times$ C(4, 4) = $252 \times 5 \times 1 = 1260$ cara.

Bagaimana jika mobil kapasitas 5 diisi 4 orang, mobil kapasitas 2 diisi 2 orang, dan mobil kapasitas 4 diisi 4 orang? Yaitu, pembagian (4, 2, 4).
   C(10, 4) $\times$ C(6, 2) $\times$ C(4, 4) = $210 \times 15 \times 1 = 3150$ cara.

Bagaimana jika mobil kapasitas 5 diisi 3 orang, mobil kapasitas 2 diisi 2 orang, dan mobil kapasitas 4 diisi 5 orang? Ini tidak mungkin karena kapasitas mobil 4 adalah 4.

Bagaimana jika mobil kapasitas 5 diisi 3 orang, mobil kapasitas 2 diisi 3 orang, dan mobil kapasitas 4 diisi 4 orang? Ini tidak mungkin karena kapasitas mobil 2 adalah 2.

Mari kita gunakan pendekatan yang lebih sistematis: total cara memilih orang untuk mobil pertama, lalu mobil kedua, lalu sisanya masuk mobil ketiga.

Mobil 1 (kapasitas 5), Mobil 2 (kapasitas 2), Mobil 3 (kapasitas 4).

Total 10 orang.

Cara 1: Mobil 1 diisi 5 orang, Mobil 2 diisi 2 orang, Mobil 3 diisi 3 orang.
   C(10, 5) $\times$ C(5, 2) $\times$ C(3, 3) = $252 \times 10 \times 1 = 2520$

Cara 2: Mobil 1 diisi 5 orang, Mobil 2 diisi 1 orang, Mobil 3 diisi 4 orang.
   C(10, 5) $\times$ C(5, 1) $\times$ C(4, 4) = $252 \times 5 \times 1 = 1260$

Cara 3: Mobil 1 diisi 4 orang, Mobil 2 diisi 2 orang, Mobil 3 diisi 4 orang.
   C(10, 4) $\times$ C(6, 2) $\times$ C(4, 4) = $210 \times 15 \times 1 = 3150$

Cara 4: Mobil 1 diisi 4 orang, Mobil 2 diisi 1 orang, Mobil 3 diisi 5 orang. (Tidak mungkin karena kapasitas mobil 3 adalah 4).

Cara 5: Mobil 1 diisi 3 orang, Mobil 2 diisi 2 orang, Mobil 3 diisi 5 orang. (Tidak mungkin karena kapasitas mobil 3 adalah 4).

Cara 6: Mobil 1 diisi 3 orang, Mobil 2 diisi 3 orang, Mobil 3 diisi 4 orang. (Tidak mungkin karena kapasitas mobil 2 adalah 2).

Cara 7: Mobil 1 diisi 5 orang, Mobil 2 diisi 0 orang, Mobil 3 diisi 5 orang. (Tidak mungkin karena mobil 2 harus diisi).

Cara 8: Mobil 1 diisi 4 orang, Mobil 2 diisi 0 orang, Mobil 3 diisi 6 orang. (Tidak mungkin).

Mari kita pertimbangkan semua kemungkinan pembagian 10 orang ke dalam kelompok yang sesuai dengan kapasitas mobil (5, 2, 4).
Jumlah orang dalam mobil harus berjumlah 10.
Kemungkinan kombinasi jumlah orang di setiap mobil (sesuai kapasitas): (5, 2, 3), (5, 1, 4), (4, 2, 4).

Untuk pembagian (5, 2, 3):
   C(10, 5) $\times$ C(5, 2) $\times$ C(3, 3) = $252 \times 10 \times 1 = 2520$

Untuk pembagian (5, 1, 4):
   C(10, 5) $\times$ C(5, 1) $\times$ C(4, 4) = $252 \times 5 \times 1 = 1260$

Untuk pembagian (4, 2, 4):
   C(10, 4) $\times$ C(6, 2) $\times$ C(4, 4) = $210 \times 15 \times 1 = 3150$

Total cara = $2520 + 1260 + 3150 = 6930$ cara.

Jadi, jawabannya adalah:
a. 6930 cara.
b. 6930 cara.