Sebuah bilangan ganjil 4 angka memuat tepat 3 angka ganjil

720

Pembahasan

Untuk mencari banyaknya bilangan ganjil 4 angka yang memuat tepat 3 angka ganjil, tidak memiliki angka berulang, dan tidak memuat angka 0, kita perlu mempertimbangkan dua kasus:

Kasus 1: Angka pertama adalah ganjil.
Ada 5 pilihan angka ganjil (1, 3, 5, 7, 9) untuk posisi pertama.
Karena hanya boleh ada 3 angka ganjil dan tidak boleh ada angka berulang, maka 3 angka ganjil tersebut harus dipilih dari 5 angka ganjil yang tersedia. Banyak cara memilih 3 angka ganjil adalah C(5,3) = 10.

Dari 3 angka ganjil yang terpilih, 1 angka akan digunakan di posisi pertama, dan 2 angka ganjil akan digunakan di posisi lain yang tersisa. 

Sisa 1 posisi harus diisi oleh angka genap. Ada 4 angka genap (2, 4, 6, 8) karena angka 0 tidak boleh digunakan. Banyak cara memilih 1 angka genap adalah C(4,1) = 4.

Sekarang kita memiliki 3 angka ganjil dan 1 angka genap. 

Kemungkinan penempatan angka ganjil dan genap:
- Angka ganjil di posisi 1, 2, 3, dan genap di posisi 4: 5 * 4 * 3 * 4 = 240
- Angka ganjil di posisi 1, 2, 4, dan genap di posisi 3: 5 * 4 * 3 * 4 = 240
- Angka ganjil di posisi 1, 3, 4, dan genap di posisi 2: 5 * 4 * 3 * 4 = 240

Untuk penempatan 3 angka ganjil dan 1 angka genap, kita perlu mempertimbangkan posisi angka genap. Angka genap bisa berada di posisi ke-2, ke-3, atau ke-4 (karena angka pertama harus ganjil). Terdapat 3 posisi untuk angka genap.

Jumlah bilangan dalam kasus 1:
Angka ganjil di posisi 1: 5 pilihan.
3 angka ganjil dan 1 angka genap. 3 angka ganjil dipilih dari 5 (C(5,3)=10). 1 angka genap dipilih dari 4 (C(4,1)=4).
Total kombinasi 4 angka (3 ganjil, 1 genap) adalah C(5,3) * C(4,1) = 10 * 4 = 40.

Untuk setiap kombinasi 4 angka ini, kita perlu menyusunnya sehingga angka pertama ganjil dan hanya ada 3 angka ganjil.
Misalkan angka ganjil adalah G1, G2, G3 dan angka genap adalah E1.
Susunan yang memenuhi syarat adalah G E G G, G G E G, G G G E.

Cara 1: Angka pertama ganjil (5 pilihan).
Sisa 3 angka harus memuat 2 angka ganjil dan 1 angka genap. Angka ganjil yang tersisa dipilih dari 4 angka ganjil (C(4,2)=6). Angka genap dipilih dari 4 angka genap (C(4,1)=4).
Jadi, kita punya 1 angka ganjil (di depan) dan kombinasi 2 ganjil + 1 genap. 

Mari kita lebih sistematis:
Kita perlu memilih 4 angka dengan 3 ganjil dan 1 genap, tanpa angka berulang dan tanpa 0. Ada 5 angka ganjil (1,3,5,7,9) dan 4 angka genap (2,4,6,8).

Langkah 1: Pilih 3 angka ganjil dari 5. C(5,3) = 10 cara.
Langkah 2: Pilih 1 angka genap dari 4. C(4,1) = 4 cara.
Jumlah kombinasi 4 angka yang memenuhi syarat adalah 10 * 4 = 40 kombinasi.

Langkah 3: Susun 4 angka tersebut.
Setiap kombinasi terdiri dari 3 angka ganjil (G) dan 1 angka genap (E). Kita perlu membentuk bilangan 4 angka.

Untuk sebuah kombinasi {G1, G2, G3, E1}, kita perlu memastikan bilangan yang terbentuk adalah ganjil (angka terakhir ganjil) dan memuat 3 angka ganjil.

Karena bilangan harus ganjil, angka terakhir harus ganjil. Ada 3 pilihan angka ganjil untuk posisi terakhir.
Misalkan angka terakhir adalah G3.
Angka pertama bisa G1, G2, atau E1.

Cara 1: Bilangan berakhiran ganjil.
Angka terakhir: 5 pilihan (angka ganjil).
Angka pertama: Harus ganjil, tidak berulang, dan tidak 0. 

Ini menjadi lebih rumit jika kita langsung menghitung. Mari gunakan prinsip dasar:

1.  **Pilih angka-angkanya:**
    *   Pilih 3 angka ganjil dari {1, 3, 5, 7, 9}: C(5,3) = 10 cara.
    *   Pilih 1 angka genap dari {2, 4, 6, 8}: C(4,1) = 4 cara.
    *   Total kombinasi 4 angka = 10 * 4 = 40.

2.  **Susun angka-angka tersebut menjadi bilangan 4 angka ganjil tanpa pengulangan dan tanpa angka 0.**
    *   Bilangan harus ganjil, artinya angka terakhir harus ganjil.
    *   Bilangan tersebut harus memuat tepat 3 angka ganjil dan 1 angka genap.

    Kita punya set {G1, G2, G3, E1}.
    *   Posisi terakhir (satuan) harus diisi oleh angka ganjil. Ada 3 pilihan dari {G1, G2, G3}.
    *   Setelah mengisi posisi terakhir, tersisa 3 angka untuk 3 posisi pertama.
    *   Ada 3 angka tersisa (2 ganjil, 1 genap atau 1 ganjil, 2 genap - ini salah, selalu 2 ganjil 1 genap yang tersisa).
    *   Misal angka terakhir adalah G3. Tersisa {G1, G2, E1}.
    *   Banyak cara menyusun {G1, G2, E1} di 3 posisi pertama adalah 3! = 6 cara.

    Jadi, untuk setiap kombinasi 4 angka (3G, 1E), ada 3 pilihan untuk angka terakhir (ganjil) dan 3! cara untuk menyusun sisanya. 
    Jumlah susunan = C(5,3) * C(4,1) * 3 * 3! = 10 * 4 * 3 * 6 = 720.

    Mari kita cek apakah ada kendala.
    - Bilangan ganjil 4 angka: ✅ (angka terakhir ganjil)
    - Tepat 3 angka ganjil: ✅ (kita pilih 3G, 1E)
    - Tidak ada angka berulang: ✅ (kita menggunakan permutasi dari angka yang berbeda)
    - Tidak memuat angka 0: ✅ (kita hanya memilih dari {1,3,5,7,9} dan {2,4,6,8})

    Jadi, banyaknya bilangan berbeda adalah 720.

    Alternatif perhitungan:
    Kita akan membentuk bilangan 4 angka ABCD, di mana D harus ganjil.
    
    Kasus 1: A ganjil, B ganjil, C ganjil, D genap (salah, harus ada 3 ganjil).
    
    Mari kita fokus pada komposisi angka dan posisi.
    
    Komposisi angka: 3 Ganjil (G), 1 Genap (E).
    Bilangan ABCD, D harus G.
    
    Kemungkinan susunan G dan E:
    1. G G G E (Tidak mungkin karena D harus G)
    2. G G E G
    3. G E G G
    4. E G G G
    
    *   Kasus 2: G G E G
        *   Posisi D (terakhir): 5 pilihan (G1)
        *   Posisi A: 4 pilihan (G2)
        *   Posisi B: 3 pilihan (G3)
        *   Posisi C: 4 pilihan (E1)
        *   Total = 5 * 4 * 3 * 4 = 240
    
    *   Kasus 3: G E G G
        *   Posisi D (terakhir): 5 pilihan (G1)
        *   Posisi A: 4 pilihan (G2)
        *   Posisi C: 3 pilihan (G3)
        *   Posisi B: 4 pilihan (E1)
        *   Total = 5 * 4 * 3 * 4 = 240
    
    *   Kasus 4: E G G G
        *   Posisi D (terakhir): 5 pilihan (G1)
        *   Posisi B: 4 pilihan (G2)
        *   Posisi C: 3 pilihan (G3)
        *   Posisi A: 4 pilihan (E1)
        *   Total = 5 * 4 * 3 * 4 = 240
    
    Jumlah total = 240 + 240 + 240 = 720.
    
    Penjelasan yang lebih terstruktur:
    Kita ingin membentuk bilangan 4 angka dengan tepat 3 angka ganjil dan 1 angka genap, tanpa pengulangan, dan tanpa angka 0. Bilangan tersebut juga harus merupakan bilangan ganjil, yang berarti angka terakhirnya harus ganjil.
    
    Langkah 1: Pilih angka-angka yang akan digunakan.
    Kita perlu 3 angka ganjil dan 1 angka genap.
    *   Pilihan angka ganjil: Ada 5 angka ganjil (1, 3, 5, 7, 9). Kita pilih 3 di antaranya. Banyak cara memilih adalah C(5,3) = 10.
    *   Pilihan angka genap: Ada 4 angka genap (2, 4, 6, 8). Kita pilih 1 di antaranya. Banyak cara memilih adalah C(4,1) = 4.
    *   Jadi, total ada 10 * 4 = 40 kombinasi dari 4 angka yang memenuhi syarat komposisi (3 ganjil, 1 genap).
    
    Langkah 2: Susun angka-angka tersebut menjadi bilangan 4 angka yang ganjil.
    Setiap kombinasi terdiri dari 3 angka ganjil (sebut saja G1, G2, G3) dan 1 angka genap (sebut saja E1).
    Bilangan yang dibentuk adalah ABCD.
    Agar bilangan tersebut ganjil, angka terakhir (D) haruslah ganjil.
    *   Pilihan untuk angka terakhir (D): Ada 3 angka ganjil dalam kombinasi tersebut. Jadi, ada 3 pilihan untuk D.
    *   Setelah D dipilih, tersisa 3 angka (2 ganjil dan 1 genap) untuk mengisi 3 posisi pertama (A, B, C).
    *   Banyak cara menyusun 3 angka yang tersisa di 3 posisi pertama adalah permutasi P(3,3) = 3! = 6.
    
    Jadi, untuk setiap kombinasi 4 angka (3G, 1E), terdapat 3 * 6 = 18 cara penyusunan agar bilangan tersebut ganjil.
    
    Total banyaknya bilangan = (Jumlah kombinasi angka) * (Jumlah cara penyusunan per kombinasi)
    Total = 40 * 18 = 720.

    Oleh karena itu, banyak bilangan berbeda dengan ciri tersebut adalah 720.