Kelas 12Kelas 11mathGeometri
Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P
Pertanyaan
Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P merupakan titik potong AH dan ED dan titik Q merupakan titik potong FH dan EG. Berapa jarak titik B ke garis PG?
Solusi
Verified
Jarak titik B ke garis PG adalah sqrt(22) cm.
Pembahasan
Soal ini berkaitan dengan jarak titik ke garis dalam ruang tiga dimensi. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal AH dan ED. Titik Q adalah perpotongan diagonal FH dan EG. Kita perlu mencari jarak titik B ke garis PG. Untuk mempermudah, kita bisa menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius. Misalkan titik A berada di (0,0,0). Maka koordinat titik-titik lainnya adalah: A = (0,0,0) B = (4,0,0) C = (4,4,0) D = (0,4,0) E = (0,0,4) F = (4,0,4) G = (4,4,4) H = (0,4,4) Sekarang kita tentukan koordinat titik P dan Q. Titik P adalah perpotongan AH dan ED. Garis AH menghubungkan A(0,0,0) dan H(0,4,4). Persamaan parametrik garis AH adalah r_AH = (0,0,0) + t(0,4,4) = (0, 4t, 4t). Garis ED menghubungkan E(0,0,4) dan D(0,4,0). Persamaan parametrik garis ED adalah r_ED = (0,0,4) + u(0,4,-4) = (0, 4u, 4-4u). Untuk mencari titik potong P, kita samakan komponen-komponennya: 0 = 0 4t = 4u => t = u 4t = 4-4u Substitusikan t=u ke persamaan ketiga: 4t = 4-4t 8t = 4 t = 1/2 Maka, P = (0, 4(1/2), 4(1/2)) = (0, 2, 2). Titik Q adalah perpotongan FH dan EG. Garis FH menghubungkan F(4,0,4) dan H(0,4,4). Persamaan parametrik garis FH adalah r_FH = (4,0,4) + v(-4,4,0) = (4-4v, 4v, 4). Garis EG menghubungkan E(0,0,4) dan G(4,4,4). Persamaan parametrik garis EG adalah r_EG = (0,0,4) + w(4,4,0) = (4w, 4w, 4). Untuk mencari titik potong Q, kita samakan komponen-komponennya: 4-4v = 4w 4v = 4w => v = w 4 = 4 Substitusikan v=w ke persamaan pertama: 4-4v = 4v 4 = 8v v = 1/2 Maka, Q = (4-4(1/2), 4(1/2), 4) = (4-2, 2, 4) = (2, 2, 4). Sekarang kita punya titik B(4,0,0) dan garis PG dengan P(0,2,2) dan Q(2,2,4). Untuk mencari jarak titik B ke garis PG, kita bisa gunakan rumus jarak titik ke garis: d = ||(P - B) x (Q - P)|| / ||Q - P|| Hitung vektor P-B: P - B = (0-4, 2-0, 2-0) = (-4, 2, 2) Hitung vektor Q-P: Q - P = (2-0, 2-2, 4-2) = (2, 0, 2) Hitung hasil kali silang (P-B) x (Q-P): (P-B) x (Q-P) = | i j k | | -4 2 2 | | 2 0 2 | = i(2*2 - 2*0) - j(-4*2 - 2*2) + k(-4*0 - 2*2) = i(4 - 0) - j(-8 - 4) + k(0 - 4) = 4i + 12j - 4k = (4, 12, -4) Hitung magnitudo dari hasil kali silang: ||(P-B) x (Q-P)|| = sqrt(4^2 + 12^2 + (-4)^2) = sqrt(16 + 144 + 16) = sqrt(176) = sqrt(16 * 11) = 4 * sqrt(11) Hitung magnitudo dari Q-P: ||Q - P|| = sqrt(2^2 + 0^2 + 2^2) = sqrt(4 + 0 + 4) = sqrt(8) = sqrt(4 * 2) = 2 * sqrt(2) Sekarang hitung jaraknya: d = ||(P - B) x (Q - P)|| / ||Q - P|| d = (4 * sqrt(11)) / (2 * sqrt(2)) d = 2 * sqrt(11/2) d = 2 * sqrt(22/4) d = 2 * (sqrt(22) / 2) d = sqrt(22) Jadi, jarak titik B ke garis PG adalah sqrt(22) cm.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Geometri Ruang
Section: Jarak Titik Ke Garis
Apakah jawaban ini membantu?