Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Titik P

Jarak titik B ke garis PG adalah sqrt(22) cm.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan jarak titik ke garis dalam ruang tiga dimensi. Kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 4 cm. Titik P adalah perpotongan diagonal AH dan ED. Titik Q adalah perpotongan diagonal FH dan EG. Kita perlu mencari jarak titik B ke garis PG.

Untuk mempermudah, kita bisa menempatkan kubus dalam sistem koordinat Kartesius. Misalkan titik A berada di (0,0,0). Maka koordinat titik-titik lainnya adalah:
A = (0,0,0)
B = (4,0,0)
C = (4,4,0)
D = (0,4,0)
E = (0,0,4)
F = (4,0,4)
G = (4,4,4)
H = (0,4,4)

Sekarang kita tentukan koordinat titik P dan Q.
Titik P adalah perpotongan AH dan ED. Garis AH menghubungkan A(0,0,0) dan H(0,4,4). Persamaan parametrik garis AH adalah r_AH = (0,0,0) + t(0,4,4) = (0, 4t, 4t).
Garis ED menghubungkan E(0,0,4) dan D(0,4,0). Persamaan parametrik garis ED adalah r_ED = (0,0,4) + u(0,4,-4) = (0, 4u, 4-4u).
Untuk mencari titik potong P, kita samakan komponen-komponennya:
0 = 0
4t = 4u => t = u
4t = 4-4u
Substitusikan t=u ke persamaan ketiga:
4t = 4-4t
8t = 4
t = 1/2
Maka, P = (0, 4(1/2), 4(1/2)) = (0, 2, 2).

Titik Q adalah perpotongan FH dan EG. Garis FH menghubungkan F(4,0,4) dan H(0,4,4). Persamaan parametrik garis FH adalah r_FH = (4,0,4) + v(-4,4,0) = (4-4v, 4v, 4).
Garis EG menghubungkan E(0,0,4) dan G(4,4,4). Persamaan parametrik garis EG adalah r_EG = (0,0,4) + w(4,4,0) = (4w, 4w, 4).
Untuk mencari titik potong Q, kita samakan komponen-komponennya:
4-4v = 4w
4v = 4w => v = w
4 = 4
Substitusikan v=w ke persamaan pertama:
4-4v = 4v
4 = 8v
v = 1/2
Maka, Q = (4-4(1/2), 4(1/2), 4) = (4-2, 2, 4) = (2, 2, 4).

Sekarang kita punya titik B(4,0,0) dan garis PG dengan P(0,2,2) dan Q(2,2,4).

Untuk mencari jarak titik B ke garis PG, kita bisa gunakan rumus jarak titik ke garis:
d = ||(P - B) x (Q - P)|| / ||Q - P||

Hitung vektor P-B:
P - B = (0-4, 2-0, 2-0) = (-4, 2, 2)

Hitung vektor Q-P:
Q - P = (2-0, 2-2, 4-2) = (2, 0, 2)

Hitung hasil kali silang (P-B) x (Q-P):
(P-B) x (Q-P) = | i   j   k |
              | -4  2   2 |
              | 2   0   2 |
            = i(2*2 - 2*0) - j(-4*2 - 2*2) + k(-4*0 - 2*2)
            = i(4 - 0) - j(-8 - 4) + k(0 - 4)
            = 4i + 12j - 4k = (4, 12, -4)

Hitung magnitudo dari hasil kali silang:
||(P-B) x (Q-P)|| = sqrt(4^2 + 12^2 + (-4)^2)
                   = sqrt(16 + 144 + 16)
                   = sqrt(176)
                   = sqrt(16 * 11)
                   = 4 * sqrt(11)

Hitung magnitudo dari Q-P:
||Q - P|| = sqrt(2^2 + 0^2 + 2^2)
          = sqrt(4 + 0 + 4)
          = sqrt(8)
          = sqrt(4 * 2)
          = 2 * sqrt(2)

Sekarang hitung jaraknya:
d = ||(P - B) x (Q - P)|| / ||Q - P||
d = (4 * sqrt(11)) / (2 * sqrt(2))
d = 2 * sqrt(11/2)
d = 2 * sqrt(22/4)
d = 2 * (sqrt(22) / 2)
d = sqrt(22)

Jadi, jarak titik B ke garis PG adalah sqrt(22) cm.