Sebuah pintu berbentuk seperti gambar di bawah dengan

Nilai x agar luas pintu maksimum adalah p / (4 + 2π).

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan optimasi, di mana kita ingin memaksimalkan luas pintu dengan keliling yang tetap. Pintu berbentuk seperti gambar, yang dapat diinterpretasikan sebagai persegi panjang dengan dua sisi berbentuk setengah lingkaran di atasnya, atau dua sisi berbentuk seperempat lingkaran di kedua sisi atasnya. Namun, deskripsi "x x y 2x" dengan dua garis vertikal 'x' dan garis horizontal '2x' menyiratkan bahwa pintu tersebut memiliki lebar 2x dan tinggi x pada bagian perseginya, dan di atas persegi panjang tersebut terdapat dua segmen yang perlu diinterpretasikan.

Jika kita mengasumsikan bentuk pintu adalah persegi panjang dengan lebar 2x dan tinggi y, dan di kedua sisi atasnya terdapat dua buah setengah lingkaran yang jari-jarinya adalah x (sehingga diameter setengah lingkaran adalah 2x, yang sama dengan lebar persegi panjang), maka:

*   Lebar pintu = 2x
*   Tinggi bagian persegi = y
*   Jari-jari setengah lingkaran = x

Keliling pintu (p) terdiri dari:
*   Dua sisi vertikal persegi: x + x = 2x
*   Sisi horizontal bawah persegi: 2x
*   Dua setengah lingkaran (yang jika digabungkan menjadi satu lingkaran penuh): keliling lingkaran = 2 * π * r = 2 * π * x

Jadi, keliling p = 2x + 2x + 2πx = 4x + 2πx = x(4 + 2π).

Luas pintu (A) terdiri dari:
*   Luas persegi: (2x) * y
*   Luas dua setengah lingkaran (satu lingkaran penuh): π * r^2 = π * x^2

Jadi, A = 2xy + πx^2.

Dari rumus keliling, kita bisa menyatakan y dalam bentuk x dan p:
p = x(4 + 2π)
y = p / (4 + 2π) - x (Ini tidak benar, mari kita perbaiki)

Mari kita asumsikan ulang interpretasi bentuk pintu. Gambar yang paling umum untuk pintu dengan bentuk seperti ini adalah sebuah persegi panjang dengan lebar 2x dan tinggi y, dan di atasnya terdapat dua segmen setengah lingkaran yang jari-jarinya adalah x. Sehingga total tinggi pintu adalah y + x.

Keliling pintu (p) = 2x (sisi bawah) + y (sisi kiri) + y (sisi kanan) + 2 * (setengah keliling lingkaran dengan jari-jari x).
Keliling setengah lingkaran = π * r = π * x.
Jadi, p = 2x + 2y + 2(πx) = 2x + 2y + 2πx = x(2 + 2π) + 2y.

Luas pintu (A) = Luas persegi + Luas dua setengah lingkaran.
Luas persegi = (2x) * y.
Luas dua setengah lingkaran = Luas satu lingkaran = π * r^2 = π * x^2.
Jadi, A = 2xy + πx^2.

Dari rumus keliling, kita bisa ekspresikan y:
2y = p - x(2 + 2π)
y = (p - 2x - 2πx) / 2

Substitusikan y ke dalam rumus luas:
A = 2x * [(p - 2x - 2πx) / 2] + πx^2
A = x(p - 2x - 2πx) + πx^2
A = px - 2x^2 - 2πx^2 + πx^2
A = px - 2x^2 - πx^2
A = px - (2 + π)x^2

Untuk mencari nilai x agar luas maksimum, kita turunkan A terhadap x dan samakan dengan nol:
dA/dx = d/dx [px - (2 + π)x^2]
dA/dx = p - 2(2 + π)x

Samakan dengan nol:
p - 2(2 + π)x = 0
p = 2(2 + π)x
x = p / (2(2 + π))

Jadi, agar luas pintu maksimum, nilai x adalah p / (4 + 2π).

**Interpretasi lain dari gambar:**
Jika gambar pintu adalah persegi panjang dengan lebar 2x dan tinggi x, dan di atasnya ada dua segmen setengah lingkaran berjari-jari x, maka:
Lebar pintu = 2x.
Tinggi total pintu = x (persegi) + x (jari-jari setengah lingkaran) = 2x. Jadi ini adalah bujur sangkar dengan setengah lingkaran di atasnya.

Dalam kasus ini, y = x.
Keliling p = 2x (bawah) + x (kiri) + x (kanan) + 2 * (setengah keliling lingkaran berjari-jari x).
p = 2x + 2x + 2(πx) = 4x + 2πx = x(4 + 2π).

Luas A = Luas persegi + Luas dua setengah lingkaran.
Luas persegi = x * 2x = 2x^2.
Luas dua setengah lingkaran = π * x^2.
A = 2x^2 + πx^2 = (2 + π)x^2.

Dalam kasus ini, luas A berbanding lurus dengan x^2. Agar luas maksimum dengan keliling tetap, kita perlu hubungan antara x dan p.
Dari p = x(4 + 2π), maka x = p / (4 + 2π).
Substitusikan x ke dalam A:
A = (2 + π) * [p / (4 + 2π)]^2

Ini tidak memberikan nilai x, melainkan nilai A. Pertanyaannya adalah nilai x agar luas maksimum.

Mari kembali ke interpretasi pertama yang lebih umum:
Persegi panjang dengan lebar 2x, tinggi y, dan dua setengah lingkaran berjari-jari x di atasnya.
Keliling p = 2x (bawah) + 2y (sisi) + 2πx (atas).
Luas A = 2xy + πx^2.
Kita sudah dapatkan: A = px - (2 + π)x^2.
Untuk luas maksimum, x = p / (4 + 2π).

Ini adalah nilai x yang mengoptimalkan luas untuk bentuk tersebut, dengan asumsi p adalah konstanta.