Sebuah polinomial berderajat 5 yang semua koefisiennya real

Nilai k yang tidak mungkin adalah bilangan genap, yaitu 2 dan 4.

Pembahasan

Soal ini membahas tentang akar-akar polinomial dan hubungannya dengan jumlah akar real. Sebuah polinomial berderajat 5 dengan koefisien real memiliki tepat k buah akar real (dengan memperhitungkan pengulangan).

Menurut Teorema Dasar Aljabar, polinomial berderajat n memiliki tepat n akar (termasuk akar kompleks dan pengulangan).

Untuk polinomial dengan koefisien real, akar-akar kompleks selalu muncul berpasangan (konjugat). Ini berarti jika ada akar kompleks a + bi (dengan b ≠ 0), maka konjugatnya a - bi juga pasti merupakan akar.

Oleh karena itu, jumlah akar real dari polinomial berderajat ganjil (seperti derajat 5) haruslah ganjil. Mengapa? Karena akar-akar non-real datang berpasangan. Jika kita memiliki 5 akar total, dan akar-akar non-real datang berpasangan (0, 2, 4, ...), maka jumlah akar real haruslah 5 dikurangi jumlah akar non-real yang genap. Hasilnya akan selalu ganjil (5-0=5, 5-2=3, 5-4=1).

Contoh yang diberikan:
f(x) = x³(x-4)² memiliki 5 akar real (0, 0, 0, 4, 4). Di sini k=5.
g(x) = (x-1)(x²+1)(x²+x+2).
- Akar dari (x-1) adalah x=1 (1 akar real).
- Akar dari (x²+1) adalah x²=-1, sehingga x = ±i (2 akar imajiner).
- Akar dari (x²+x+2) dapat dicari menggunakan diskriminan: D = b²-4ac = 1² - 4(1)(2) = 1 - 8 = -7. Karena D < 0, akar-akarnya adalah kompleks. (2 akar imajiner).
Jadi, g(x) memiliki total 1 akar real dan 4 akar imajiner. Di sini k=1.

Nilai k yang mungkin untuk polinomial derajat 5 dengan koefisien real adalah jumlah akar real, yang harus ganjil. Jadi, k bisa 1, 3, atau 5.

Pertanyaannya adalah manakah yang TIDAK MUNGKIN menjadi nilai k di antara bilangan asli dari 1 sampai 5. Bilangan asli dari 1 sampai 5 adalah {1, 2, 3, 4, 5}.

Nilai k yang mungkin adalah {1, 3, 5}.
Nilai k yang tidak mungkin adalah {2, 4}.

Di antara pilihan yang diberikan (implisit dalam pertanyaan), yang tidak mungkin adalah bilangan genap.