Sederhanakan bentuk berikut. 2log9. 3log akar(32)

30

Pembahasan

Untuk menyederhanakan bentuk 2log9 . 3log akar(32), kita bisa menggunakan sifat-sifat logaritma.

Bentuk yang diberikan adalah:
2log9 . 3log(32^(1/2))

Kita bisa mengubah basis logaritma atau menggunakan sifat perubahan basis jika diperlukan, tetapi mari kita coba sederhanakan masing-masing suku terlebih dahulu.

Suku pertama: 2log9
Ini bisa ditulis sebagai 2 * log(3^2)
Menggunakan sifat logaritma log(a^b) = b*log(a):
2 * 2 * log(3) = 4log(3)

Namun, jika maksud soal adalah logaritma dengan basis 2 dari 9 (log_2 9), maka:
log_2(9) = log_2(3^2) = 2 * log_2(3)

Suku kedua: 3log akar(32)
Ini bisa ditulis sebagai 3 * log(32^(1/2))
Menggunakan sifat logaritma log(a^b) = b*log(a):
3 * (1/2) * log(32)
= (3/2) * log(32)

Jika maksud soal adalah logaritma dengan basis 3 dari akar(32) (log_3 akar(32)), maka:
log_3(32^(1/2)) = (1/2) * log_3(32)
= (1/2) * log_3(2^5)
= (1/2) * 5 * log_3(2)
= (5/2) * log_3(2)

Sekarang kita kalikan kedua suku tersebut. Diasumsikan maksud soal adalah logaritma dengan basis yang disebutkan.

Kasus 1: Jika basis logaritma tidak disebutkan secara eksplisit, kita anggap basis 10.
2 * log(9) * 3 * log(sqrt(32))
= 6 * log(9) * log(sqrt(32))
= 6 * log(3^2) * log(2^(5/2))
= 6 * (2 log 3) * (5/2 log 2)
= 6 * 5 * log 3 * log 2
= 30 log 3 log 2
Ini tidak menyederhanakan menjadi bentuk yang mudah.

Kasus 2: Jika basisnya sesuai dengan angka di depannya, yaitu log_2 9 dan log_3 akar(32).
(2 * log_2 9) * (3 * log_3 akar(32))
= (2 * log_2(3^2)) * (3 * log_3(32^(1/2)))
= (2 * 2 * log_2 3) * (3 * (1/2) * log_3(32))
= (4 * log_2 3) * ((3/2) * log_3(2^5))
= (4 * log_2 3) * ((3/2) * 5 * log_3 2)
= (4 * log_2 3) * ((15/2) * log_3 2)

Kita tahu bahwa log_a b = 1 / log_b a.
Maka log_3 2 = 1 / log_2 3.
Substitusikan ini ke dalam persamaan:
= (4 * log_2 3) * ((15/2) * (1 / log_2 3))

Kita bisa membatalkan log_2 3:
= 4 * (15/2)
= (4 * 15) / 2
= 60 / 2
= 30

Jadi, dengan asumsi bahwa 2log9 berarti log_2 9 dan 3log akar(32) berarti log_3 akar(32), hasil penyederhanaannya adalah 30.

Mari kita periksa kembali apakah ada sifat lain yang bisa digunakan.
Sifat logaritma: a * log_b c = log_b (c^a)
2log9 = log_2 (9^2) = log_2 81
3log akar(32) = log_3 ((akar(32))^3) = log_3 (32^(3/2)) = log_3 ((2^5)^(3/2)) = log_3 (2^(15/2))

Perkaliannya menjadi:
log_2 81 * log_3 (2^(15/2))
= log_2 (3^4) * log_3 (2^(15/2))
= 4 log_2 3 * (15/2) log_3 2
= (4 * 15/2) * log_2 3 * log_3 2
= 30 * log_2 3 * (1 / log_2 3)
= 30 * 1
= 30

Jadi, hasil penyederhanaannya adalah 30.