Sederhanakanlah (akar(5) + akar(6) + akar(7))(akar(5) +

104

Pembahasan

Mari kita sederhanakan ekspresi:
$E = (\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7})(\sqrt{5} + \sqrt{6} - \sqrt{7})(\sqrt{5} - \sqrt{6} + \sqrt{7})(-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7})$

Kita bisa mengelompokkan suku-sukunya untuk memudahkan:
Kelompokkan dua suku pertama:
$(\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7})(\sqrt{5} + \sqrt{6} - \sqrt{7}) = ((\sqrt{5} + \sqrt{6}) + \sqrt{7})((\sqrt{5} + \sqrt{6}) - \sqrt{7})$
Ini adalah bentuk $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, dengan $a = (\sqrt{5} + \sqrt{6})$ dan $b = \sqrt{7}$.
$= (\sqrt{5} + \sqrt{6})^2 - (\sqrt{7})^2$
$= (5 + 2\sqrt{30} + 6) - 7$
$= 11 + 2\sqrt{30} - 7$
$= 4 + 2\sqrt{30}$

Kelompokkan dua suku terakhir:
$(\sqrt{5} - \sqrt{6} + \sqrt{7})(-\sqrt{5} + \sqrt{6} + \sqrt{7}) = (\sqrt{7} + (\sqrt{5} - \sqrt{6}))(\sqrt{7} - (\sqrt{5} - \sqrt{6}))$
Ini juga bentuk $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, dengan $a = \sqrt{7}$ dan $b = (\sqrt{5} - \sqrt{6})$.
$= (\sqrt{7})^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{6})^2$
$= 7 - (5 - 2\sqrt{30} + 6)$
$= 7 - (11 - 2\sqrt{30})$
$= 7 - 11 + 2\sqrt{30}$
$= -4 + 2\sqrt{30}$

Sekarang kalikan hasil kedua pengelompokan:
$E = (4 + 2\sqrt{30})(-4 + 2\sqrt{30})$
Ini lagi-lagi berbentuk $(a+b)(b-a)$ atau bisa ditulis sebagai $(2\sqrt{30} + 4)(2\sqrt{30} - 4)$.
Ini adalah bentuk $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$, dengan $a = 2\sqrt{30}$ dan $b = 4$.
$= (2\sqrt{30})^2 - 4^2$
$= (4 \times 30) - 16$
$= 120 - 16$
$= 104

Jadi, hasil penyederhanaan ekspresi tersebut adalah 104.