Segitiga PQR mempunyai panjang sisi PQ=20 cm , QR=21 cm ,

a. $\cos P = \frac{16}{65}$; b. Luas segitiga PQR = 126 cm$^2$.

Pembahasan

Untuk segitiga PQR dengan panjang sisi $PQ=20$ cm, $QR=21$ cm, dan $PR=13$ cm, kita akan menentukan nilai $\cos P$ dan luas segitiga PQR.

**a. Menentukan nilai $\cos P$**

Kita dapat menggunakan Aturan Kosinus untuk mencari nilai $\cos P$. Aturan Kosinus menyatakan:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$

Dalam konteks segitiga PQR:
- Sisi $a$ berhadapan dengan sudut $A$ (dalam kasus ini, sisi $QR$ berhadapan dengan sudut $P$). Jadi, $a = QR = 21$ cm.
- Sisi $b$ berhadapan dengan sudut $B$ (dalam kasus ini, sisi $PR$ berhadapan dengan sudut $Q$). Jadi, $b = PR = 13$ cm.
- Sisi $c$ berhadapan dengan sudut $C$ (dalam kasus ini, sisi $PQ$ berhadapan dengan sudut $R$). Jadi, $c = PQ = 20$ cm.

Kita ingin mencari $\cos P$, sehingga kita gunakan formula:
$QR^2 = PR^2 + PQ^2 - 2(PR)(PQ) \cos P$

Substitusikan nilai-nilai yang diketahui:
$21^2 = 13^2 + 20^2 - 2(13)(20) \cos P$
$441 = 169 + 400 - 520 \cos P$
$441 = 569 - 520 \cos P$

Sekarang, kita isolasi $\cos P$:
$520 \cos P = 569 - 441$
$520 \cos P = 128$
$\cos P = \frac{128}{520}$

Sederhanakan pecahan tersebut:
$\cos P = \frac{128 
 8}{520 
 8} = \frac{16}{65}$

Jadi, nilai $\cos P = \frac{16}{65}$.

**b. Menentukan luas segitiga PQR**

Ada beberapa cara untuk menghitung luas segitiga jika ketiga sisinya diketahui. Salah satunya adalah menggunakan Heron, tetapi karena kita sudah memiliki $\cos P$, kita bisa mencari $\sin P$ terlebih dahulu dan menggunakan rumus luas $L = \frac{1}{2}bc \sin A$.

Kita tahu $\cos P = \frac{16}{65}$. Kita dapat menggunakan identitas $\sin^2 P + \cos^2 P = 1$ untuk mencari $\sin P$.
$\sin^2 P = 1 - \cos^2 P$
$\sin^2 P = 1 - \left( \frac{16}{65} \right)^2$
$\sin^2 P = 1 - \frac{256}{4225}$
$\sin^2 P = \frac{4225 - 256}{4225}$
$\sin^2 P = \frac{3969}{4225}$
$\sin P = \sqrt{\frac{3969}{4225}}$
$\sin P = \frac{63}{65}$
(Kita ambil nilai positif karena sudut dalam segitiga biasanya antara 0 hingga 180 derajat, di mana sinus selalu positif).

Sekarang, gunakan rumus luas segitiga:
$Luas = \frac{1}{2} (PR)(PQ) \sin P$
$Luas = \frac{1}{2} (13)(20) \left( \frac{63}{65} \right)$
$Luas = \frac{1}{2} (260) \left( \frac{63}{65} \right)$
$Luas = 130 \times \frac{63}{65}$
$Luas = 2 	imes 63$
$Luas = 126$

Jadi, luas segitiga PQR adalah 126 cm$^2$.

**Cara lain menghitung luas (Heron):**

1. Hitung semi-perimeter ($s$):
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{21 + 13 + 20}{2} = \frac{54}{2} = 27$ cm.

2. Gunakan rumus Heron:
$Luas = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$Luas = \sqrt{27(27-21)(27-13)(27-20)}$
$Luas = \sqrt{27(6)(14)(7)}$
$Luas = \sqrt{(3^3)(2 	imes 3)(2 	imes 7)(7)}$
$Luas = \sqrt{2^2 	imes 3^4 	imes 7^2}$
$Luas = 2 	imes 3^2 	imes 7$
$Luas = 2 	imes 9 	imes 7$
$Luas = 18 	imes 7$
$Luas = 126$ cm$^2$.

Kedua metode memberikan hasil yang sama.