Selesaikanlah masing-masing persamaan berikut. (tan)^-1 X =

Solusi persamaan $(\tan)^{-1} x = (\cos)^{-1} x$ adalah $x = \sqrt{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$.

Pembahasan

Misalkan $\alpha = (\tan)^{-1} x$ dan $\alpha = (\cos)^{-1} x$. Maka, kita dapat menuliskan $x = \tan \alpha$ dan $x = \cos \alpha$.

Dari sini, kita punya $\tan \alpha = \cos \alpha$.
Kita tahu bahwa $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$. Jadi,
$rac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \cos \alpha$
$\,\sin \alpha = \cos^2 \alpha$
Kita tahu bahwa $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$. Maka,
$\,\sin \alpha = 1 - \sin^2 \alpha$
$\,\sin^2 \alpha + \sin \alpha - 1 = 0$
Ini adalah persamaan kuadrat dalam $\sin \alpha$. Menggunakan rumus kuadrat $x = \frac{-b 
	\pm 
	\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, kita dapatkan:
$\,\sin \alpha = \frac{-1 
	\pm 
	\sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}}{2(1)}$
$\,\sin \alpha = \frac{-1 
	\pm 
	\sqrt{1 + 4}}{2}$
$\,\sin \alpha = rac{-1 
	\pm 
	\sqrt{5}}}{2}$

Karena $\alpha = (\cos)^{-1} x$, maka $0 \le \alpha \le \pi$. Dalam rentang ini, $\sin \alpha \ge 0$. Oleh karena itu, kita ambil nilai positif:
$\,\sin \alpha = rac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}$
Ini adalah nilai sinus sudut dalam segitiga emas, dan $\alpha$ adalah sudut $36^\circ$ atau $\frac{\pi}{5}$ radian.

Karena $x = \cos \alpha$, maka $x = \cos(\frac{\pi}{5})$.
Nilai $\cos(\frac{\pi}{5}) = \frac{1 + \sqrt{5}}}{4}$.

Untuk memeriksa apakah ini konsisten dengan $x = \tan \alpha$, kita hitung $\tan(\frac{\pi}{5})$.
$\,\tan(\frac{\pi}{5}) = \sqrt{1 - \cos^2(\frac{\pi}{5})} / \cos(\frac{\pi}{5})$
$\,\tan(\frac{\pi}{5}) = \sqrt{1 - (\frac{1 + \sqrt{5}}}{4})^2} / (\frac{1 + \sqrt{5}}}{4})$
$\,\tan(\frac{\pi}{5}) = \sqrt{1 - \frac{1 + 5 + 2\sqrt{5}}}{16}} / (\frac{1 + \sqrt{5}}}{4})$
$\,\tan(\frac{\pi}{5}) = \sqrt{\frac{16 - 6 - 2\sqrt{5}}}{16}} / (\frac{1 + \sqrt{5}}}{4})$
$\,\tan(\frac{\pi}{5}) = \sqrt{\frac{10 - 2\sqrt{5}}}{16}} / (\frac{1 + \sqrt{5}}}{4})$
$\,\tan(\frac{\pi}{5}) = rac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4} / (\frac{1 + \sqrt{5}}}{4})$
$\,\tan(\frac{\pi}{5}) = rac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{(1 + \sqrt{5}})}$
Ini tidak sama dengan $\frac{1 + \sqrt{5}}}{4}$.

Mari kita periksa kembali persamaan $\sin \alpha = \cos^2 \alpha$. Dengan substitusi $\cos \alpha = x$, kita dapatkan $\sin \alpha = x^2$.
Kita tahu $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$.
Maka, $(x^2)^2 + x^2 = 1$
$x^4 + x^2 - 1 = 0$
Ini adalah persamaan kuadrat dalam $x^2$. Menggunakan rumus kuadrat:
$x^2 = rac{-1 
	\pm 
	\sqrt{1^2 - 4(1)(-1)}}}{2(1)}$
$x^2 = rac{-1 
	\pm 
	\sqrt{1 + 4}}}{2}$
$x^2 = rac{-1 
	\pm 
	\sqrt{5}}}{2}$

Karena $x^2$ harus positif, kita ambil:
$x^2 = rac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}$
Maka, $x = 
	\pm 
	\sqrt{\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}}$.

Namun, kita juga memiliki syarat bahwa $x = 
	\tan 
	\alpha$ dan $x = 
	\cos 
	\alpha$. Nilai $\cos 
	\alpha$ harus berada di antara -1 dan 1. Juga, nilai $\tan 
	\alpha$ bisa positif atau negatif tergantung pada kuadran $\alpha$.

Jika $\alpha = (\cos)^{-1} x$, maka $\alpha$ berada di kuadran I atau II, sehingga $\cos \alpha 
	\ge 
	0$. Ini berarti $x 
	\ge 
	0$.
Jika $x 
	\ge 
	0$, maka $\tan \alpha 
	\ge 
	0$, yang berarti $\alpha$ berada di kuadran I.

Jadi, kita hanya perlu mempertimbangkan nilai $x$ yang positif.
$x = 
	\sqrt{\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}}$.

Kita perlu memeriksa apakah nilai $x$ ini memenuhi $x = 
	\tan 
	\alpha$ dan $x = 
	\cos 
	\alpha$ untuk $\alpha$ di kuadran I.
Jika $x = 
	\cos 
	\alpha$, maka $\cos \alpha = 
	\sqrt{\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}}$.
Jika $x = 
	\tan 
	\alpha$, maka $\tan \alpha = 
	\sqrt{\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}}$.

Kita tahu bahwa $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$, dan $\tan \alpha = 
	\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$.
$\,\sin \alpha = 
	\tan \alpha \cdot \cos \alpha = 
	\sqrt{\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}} 
	\cdot 
	\sqrt{\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}} = 
	\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}$.

Sekarang kita periksa $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$:
$(\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2})^2 + (\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2})^2 = 2 (\frac{1 + 5 - 2\sqrt{5}}}{4}) = 2 (\frac{6 - 2\sqrt{5}}}{4}) = \frac{6 - 2\sqrt{5}}}{2} = 3 - \sqrt{5}} 
	\ne 
	1$.

Kesalahan terletak pada asumsi bahwa $\sin \alpha = x^2$. Seharusnya $\sin \alpha = 
	\tan 
	\alpha 
	\cos 
	\alpha$. Jika $\tan \alpha = x$ dan $\cos \alpha = x$, maka $\sin \alpha = x^2$.

Kembali ke $\sin \alpha = 
	\cos^2 \alpha$. Kita substitusikan $\cos \alpha = x$, sehingga $\sin \alpha = x^2$. Maka $\sin^2 \alpha = x^4$.
Menggunakan $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$, kita dapatkan $x^4 + x^2 = 1$, atau $x^4 + x^2 - 1 = 0$.

Solusi untuk $x^2$ adalah $\frac{-1 
	\pm 
	\sqrt{5}}}{2}$. Karena $x^2 
	\ge 
	0$, maka $x^2 = rac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}$.

Karena $x = 
	\cos 
	\alpha$, dan $\alpha = (\tan)^{-1} x$, maka $x$ harus positif (karena $\cos \alpha$ positif di kuadran I, dan $\tan \alpha$ juga positif di kuadran I).
Jadi, $x = 
	\sqrt{\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}}$.

Mari kita verifikasi dengan $\tan \alpha = x$. Jika $x = 
	\cos \alpha$, maka $\sin \alpha = 
	\sqrt{1 - x^2} = 
	\sqrt{1 - 
	\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}} = 
	\sqrt{\frac{2 + 1 - 
	\sqrt{5}}}{2}} = 
	\sqrt{\frac{3 - 
	\sqrt{5}}}{2}}$.
$\,\tan \alpha = 
	\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = 
	\frac{\sqrt{\frac{3 - 
	\sqrt{5}}}{2}}}{\sqrt{\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}}} = 
	\sqrt{\frac{3 - 
	\sqrt{5}}}{-1 + 
	\sqrt{5}}}} = 
	\sqrt{\frac{(3 - 
	\sqrt{5}})(-1 - 
	\sqrt{5}})}{(-1 + 
	\sqrt{5}})(-1 - 
	\sqrt{5}})}} = 
	\sqrt{\frac{-3 - 3\sqrt{5}} + 
	\sqrt{5}} + 5}{1 - 5}} = 
	\sqrt{\frac{2 - 2\sqrt{5}}}{-4}} = 
	\sqrt{\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}}$.

Ini konsisten. Jadi, solusinya adalah $x = 
	\sqrt{\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}}$. Nilai ini kira-kira 0.786.

Nilai eksak dari $\sqrt{\frac{-1 + 
	\sqrt{5}}}{2}}$ dapat disederhanakan. Perhatikan bahwa $(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})^2 = 
	\frac{5 + 1 - 2\sqrt{5}}}{4} = 
	\frac{6 - 2\sqrt{5}}}{4} = 
	\frac{3 - 
	\sqrt{5}}}{2}}$.
Ini bukan bentuk yang kita cari.

Mari kita cari bentuk lain dari $x = 
	\cos 
	36^\circ = 
	\frac{1 + 
	\sqrt{5}}}{4}$. Jika $x = 
	\frac{1 + 
	\sqrt{5}}}{4}$, maka $\tan \alpha = 
	\frac{1 + 
	\sqrt{5}}}{4}$. Apakah ini benar?
Jika $\alpha = 36^\circ$, maka $\tan 36^\circ \approx 0.7265$. Dan $\cos 36^\circ \approx 0.8090$. Nilai ini tidak sama.

Solusi yang benar berasal dari $x^4 + x^2 - 1 = 0$. Dengan $x = 
	\cos 
	\alpha$, maka $x 
	\ge 
	0$. Solusinya adalah $x = 
	\sqrt{\frac{
	\sqrt{5}}-1}{2}}$.

Mari kita gunakan pendekatan numerik. Jika $x=0.7$, $\tan^{-1}(0.7) \approx 35^\circ$, $\cos^{-1}(0.7) \approx 45.5^\circ$. Jika $x=0.8$, $\tan^{-1}(0.8) \approx 38.7^\circ$, $\cos^{-1}(0.8) \approx 36.9^\circ$. Nilai $x$ berada di sekitar 0.78.

Nilai $\frac{
	\sqrt{5}}-1}{2} \approx 
	\frac{2.236-1}{2} = 
	\frac{1.236}{2} = 0.618$. Maka $\sqrt{0.618} \approx 0.786$. Ini konsisten.

Jadi, solusinya adalah $x = 
	\sqrt{\frac{
	\sqrt{5}}-1}{2}}$.