Sisa pembagian polinomial f(x)=x^4+2x^3-17x^2+5x+12 oleh

Sisa pembagiannya adalah 5x - 6.

Pembahasan

Untuk mencari sisa pembagian polinomial f(x) = x^4 + 2x^3 - 17x^2 + 5x + 12 oleh (x^2 - 2x - 3), kita dapat menggunakan metode pembagian polinomial atau teorema sisa.

Metode Pembagian Polinomial:
Kita dapat membagi f(x) dengan (x^2 - 2x - 3) menggunakan pembagian panjang.

Langkah 1: Bagi x^4 dengan x^2 untuk mendapatkan x^2.
Kalikan x^2 dengan (x^2 - 2x - 3) menjadi x^4 - 2x^3 - 3x^2.
Kurangkan dari f(x): (x^4 + 2x^3 - 17x^2 + 5x + 12) - (x^4 - 2x^3 - 3x^2) = 4x^3 - 14x^2 + 5x + 12.

Langkah 2: Bagi 4x^3 dengan x^2 untuk mendapatkan 4x.
Kalikan 4x dengan (x^2 - 2x - 3) menjadi 4x^3 - 8x^2 - 12x.
Kurangkan dari hasil sebelumnya: (4x^3 - 14x^2 + 5x + 12) - (4x^3 - 8x^2 - 12x) = -6x^2 + 17x + 12.

Langkah 3: Bagi -6x^2 dengan x^2 untuk mendapatkan -6.
Kalikan -6 dengan (x^2 - 2x - 3) menjadi -6x^2 + 12x + 18.
Kurangkan dari hasil sebelumnya: (-6x^2 + 17x + 12) - (-6x^2 + 12x + 18) = 5x - 6.

Karena derajat dari 5x - 6 lebih kecil dari derajat pembagi (x^2 - 2x - 3), maka 5x - 6 adalah sisanya.

Teorema Sisa:
Polinomial pembagi adalah x^2 - 2x - 3. Kita bisa faktorkan pembagi ini menjadi (x - 3)(x + 1).

Jika f(x) dibagi oleh (x - a), sisanya adalah f(a).
Jika f(x) dibagi oleh (x - b), sisanya adalah f(b).

Karena pembagi kita adalah polinomial derajat 2, maka sisanya akan berderajat maksimal 1, yaitu berbentuk Ax + B.

Kita perlu mencari nilai f(3) dan f(-1) terlebih dahulu:

f(3) = (3)^4 + 2(3)^3 - 17(3)^2 + 5(3) + 12
= 81 + 2(27) - 17(9) + 15 + 12
= 81 + 54 - 153 + 15 + 12
= 162 - 153 = 9

Karena f(x) = P(x)(x^2 - 2x - 3) + Ax + B, maka f(3) = P(3)(0) + 3A + B, sehingga 3A + B = 9.

f(-1) = (-1)^4 + 2(-1)^3 - 17(-1)^2 + 5(-1) + 12
= 1 + 2(-1) - 17(1) - 5 + 12
= 1 - 2 - 17 - 5 + 12
= 13 - 24 = -11

Karena f(-1) = P(-1)(0) - A + B, maka -A + B = -11.

Sekarang kita punya sistem persamaan linear:
1) 3A + B = 9
2) -A + B = -11

Kurangkan persamaan (2) dari persamaan (1):
(3A + B) - (-A + B) = 9 - (-11)
4A = 20
A = 5

Substitusikan A = 5 ke persamaan (2):
-5 + B = -11
B = -11 + 5
B = -6

Jadi, sisanya adalah Ax + B = 5x - 6.