Sn menyatakan jumlah n suku pertama suatu deret geometri

6

Pembahasan

Diketahui bahwa \(S_n\) menyatakan jumlah \(n\) suku pertama suatu deret geometri dengan rasio \(r = 2\). Rumus umum jumlah \(n\) suku pertama deret geometri adalah \(S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}\), di mana \(a\) adalah suku pertama.

Dalam kasus ini, \(r = 2\), sehingga \(S_n = \frac{a(2^n - 1)}{2-1} = a(2^n - 1)\).

Kita perlu mencari nilai dari \(\frac{S_{n+3} - S_{n+1}}{S_{n+1} - S_n}\).

Hitung \(S_{n+3}\):
\(S_{n+3} = a(2^{n+3} - 1)\)

Hitung \(S_{n+1}\):
\(S_{n+1} = a(2^{n+1} - 1)\)

Hitung \(S_n\):
\(S_n = a(2^n - 1)\)

Sekarang substitusikan ke dalam ekspresi yang ditanyakan:
\(S_{n+3} - S_{n+1} = a(2^{n+3} - 1) - a(2^{n+1} - 1)\)
\(= a(2^{n+3} - 1 - 2^{n+1} + 1)\)
\(= a(2^{n+3} - 2^{n+1})\)
\(= a(2^{n+1} \, 2^2 - 2^{n+1})\)
\(= a(2^{n+1} \cdot 4 - 2^{n+1})\)
\(= a \cdot 2^{n+1} (4 - 1)\)
\(= 3a \cdot 2^{n+1}\)

\(S_{n+1} - S_n = a(2^{n+1} - 1) - a(2^n - 1)\)
\(= a(2^{n+1} - 1 - 2^n + 1)\)
\(= a(2^{n+1} - 2^n)\)
\(= a(2^n \cdot 2 - 2^n)\)
\(= a \cdot 2^n (2 - 1)\)
\(= a \cdot 2^n\)

Sekarang bagi kedua hasil tersebut:
\(\frac{S_{n+3} - S_{n+1}}{S_{n+1} - S_n} = \frac{3a \cdot 2^{n+1}}{a \cdot 2^n}\)
\(= \frac{3 \cdot 2^{n+1}}{2^n}\)
\(= 3 \cdot \frac{2^n \cdot 2}{2^n}\)
\(= 3 \cdot 2\)
\(= 6\)