Suku banyak f(x) dibagi (2x-1) sisanya 8 dan jika dibagi

-6x + 11

Pembahasan

Diketahui suku banyak f(x) memiliki sifat:
1. Jika f(x) dibagi (2x-1), sisanya adalah 8. Berdasarkan teorema sisa, ini berarti f(1/2) = 8.
2. Jika f(x) dibagi (x+1), sisanya adalah 17. Berdasarkan teorema sisa, ini berarti f(-1) = 17.

Kita ingin mencari sisa pembagian f(x) oleh (2x² + x - 1). Pertama, faktorkan pembaginya:
2x² + x - 1 = (2x - 1)(x + 1).

Karena pembagi adalah polinomial berderajat 2, maka sisanya akan berderajat paling tinggi 1. Misalkan sisa pembagiannya adalah Ax + B.

Jadi, kita bisa menulis:
f(x) = (2x² + x - 1) Q(x) + (Ax + B)
f(x) = (2x - 1)(x + 1) Q(x) + (Ax + B)

Sekarang kita gunakan informasi yang diberikan:
Untuk x = 1/2:
f(1/2) = (2(1/2) - 1)(1/2 + 1) Q(1/2) + (A(1/2) + B)
f(1/2) = (1 - 1)(3/2) Q(1/2) + (A/2 + B)
f(1/2) = (0)(3/2) Q(1/2) + (A/2 + B)
f(1/2) = A/2 + B

Kita tahu f(1/2) = 8, jadi:
8 = A/2 + B  ..... (Persamaan 1)

Untuk x = -1:
f(-1) = (2(-1) - 1)(-1 + 1) Q(-1) + (A(-1) + B)
f(-1) = (-2 - 1)(0) Q(-1) + (-A + B)
f(-1) = (-3)(0) Q(-1) + (-A + B)
f(-1) = -A + B

Kita tahu f(-1) = 17, jadi:
17 = -A + B ..... (Persamaan 2)

Sekarang kita punya sistem persamaan linear dengan dua variabel A dan B:
1) A/2 + B = 8
2) -A + B = 17

Kalikan Persamaan 1 dengan 2 untuk menghilangkan pecahan:
A + 2B = 16 ..... (Persamaan 3)

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 3:
(A + 2B) - (-A + B) = 16 - 17
A + 2B + A - B = -1
2A + B = -1 ..... (Persamaan 4)

Sekarang kita punya sistem baru:
2) -A + B = 17
4) 2A + B = -1

Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 4:
(2A + B) - (-A + B) = -1 - 17
2A + B + A - B = -18
3A = -18
A = -18 / 3
A = -6

Substitusikan nilai A ke Persamaan 2:
-(-6) + B = 17
6 + B = 17
B = 17 - 6
B = 11

Jadi, sisa pembagian f(x) oleh (2x² + x - 1) adalah Ax + B, yaitu -6x + 11.

Jawaban Ringkas: -6x + 11