Suku banyak f(x) dibagi oleh x+3 dan x^2-3x-4 masing-masing

-7x - 18

Pembahasan

Kita diberikan informasi bahwa suku banyak f(x) dibagi oleh x+3 bersisa 3, dan ketika dibagi oleh x^2-3x-4 bersisa 6x-5. Kita perlu mencari sisa pembagian f(x) oleh x^2+4x+3.

Langkah 1: Gunakan Teorema Sisa untuk pembagian pertama.
Ketika f(x) dibagi oleh x+3, sisanya adalah 3. Menurut Teorema Sisa, f(-3) = 3.

Langkah 2: Gunakan Teorema Sisa untuk pembagian kedua.
Ketika f(x) dibagi oleh x^2-3x-4, sisanya adalah 6x-5. Kita faktorkan pembaginya: x^2-3x-4 = (x-4)(x+1).
Jadi, f(x) = Q1(x)(x-4)(x+1) + (6x-5).
Mengganti x=4: f(4) = Q1(4)(0) + (6*4 - 5) = 24 - 5 = 19.
Mengganti x=-1: f(-1) = Q1(-1)(0) + (6*(-1) - 5) = -6 - 5 = -11.

Langkah 3: Tentukan bentuk sisa pembagian oleh x^2+4x+3.
Pembagi baru adalah x^2+4x+3. Kita faktorkan pembagi ini: x^2+4x+3 = (x+1)(x+3).
Karena pembaginya berderajat 2, maka sisanya akan berderajat maksimal 1. Misalkan sisa pembagiannya adalah Ax + B.
Jadi, f(x) = Q2(x)(x+1)(x+3) + (Ax + B).

Langkah 4: Gunakan informasi yang sudah kita dapatkan.
Kita tahu f(-3) = 3. Substitusikan x = -3 ke dalam persamaan sisa:
f(-3) = Q2(-3)(-3+1)(-3+3) + (A(-3) + B)
3 = Q2(-3)(0) + (-3A + B)
3 = -3A + B  (Persamaan 1)

Kita tahu f(-1) = -11. Substitusikan x = -1 ke dalam persamaan sisa:
f(-1) = Q2(-1)(-1+1)(-1+3) + (A(-1) + B)
-11 = Q2(-1)(0) + (-A + B)
-11 = -A + B  (Persamaan 2)

Langkah 5: Selesaikan sistem persamaan linear untuk A dan B.
Persamaan 1: -3A + B = 3
Persamaan 2: -A + B = -11
Kurangkan Persamaan 2 dari Persamaan 1:
(-3A + B) - (-A + B) = 3 - (-11)
-3A + B + A - B = 3 + 11
-2A = 14
A = -7

Substitusikan nilai A ke Persamaan 2:
-(-7) + B = -11
7 + B = -11
B = -11 - 7
B = -18

Langkah 6: Tuliskan sisa pembagiannya.
Sisa pembagian adalah Ax + B = -7x - 18.

Jadi, sisa pembagian f(x) oleh x^2+4x+3 adalah -7x - 18.