Suku banyak x^4-ax^3-(-b)x^2+(3a+b+2)x-3a-b dibagi

Tidak ada solusi untuk nilai a dan b karena menghasilkan sistem persamaan yang kontradiktif.

Pembahasan

Misalkan suku banyak tersebut adalah $P(x) = x^4-ax^3+bx^2+(3a+b+2)x-3a-b$. Pembagi $x^2+x-2$ dapat difaktorkan menjadi $(x+2)(x-1)$.

Menurut teorema sisa, jika $P(x)$ dibagi $(x-k)$ bersisa $R$, maka $P(k) = R$.
Karena pembaginya adalah $(x+2)(x-1)$, maka $P(x)$ jika dibagi $(x+2)$ bersisa $x-3$, dan jika dibagi $(x-1)$ bersisa $x-3$.

Substitusikan $x=1$ ke dalam $P(x)$:
$P(1) = (1)^4 - a(1)^3 + b(1)^2 + (3a+b+2)(1) - 3a - b$
$P(1) = 1 - a + b + 3a + b + 2 - 3a - b$
$P(1) = (1+2) + (-a+3a-3a) + (b+b-b)$
$P(1) = 3 - a + b$

Karena sisa pembagiannya adalah $x-3$, maka $P(1) = 1-3 = -2$.
Jadi, $3 - a + b = -2$, atau $a - b = 5$ (Persamaan 1).

Substitusikan $x=-2$ ke dalam $P(x)$:
$P(-2) = (-2)^4 - a(-2)^3 + b(-2)^2 + (3a+b+2)(-2) - 3a - b$
$P(-2) = 16 - a(-8) + b(4) - 6a - 2b - 4 - 3a - b$
$P(-2) = 16 + 8a + 4b - 6a - 2b - 4 - 3a - b$
$P(-2) = (16-4) + (8a-6a-3a) + (4b-2b-b)$
$P(-2) = 12 - a + b$

Karena sisa pembagiannya adalah $x-3$, maka $P(-2) = -2-3 = -5$.
Jadi, $12 - a + b = -5$, atau $a - b = 17$ (Persamaan 2).

Sekarang kita memiliki sistem persamaan linear:
1) $a - b = 5$
2) $a - b = 17$

Karena kedua persamaan menghasilkan nilai yang berbeda untuk $a-b$, maka terdapat kesalahan dalam soal atau pemahaman soal. Namun, jika kita mengasumsikan sisa pembagiannya sesuai dengan nilai substitusi $x$, maka:

Jika sisa pembagian adalah $x-3$, maka:
$P(1) = 1-3 = -2 
ightarrow 3 - a + b = -2 
ightarrow a - b = 5$
$P(-2) = -2-3 = -5 
ightarrow 12 - a + b = -5 
ightarrow a - b = 17$

Ini menunjukkan inkonsistensi. Mari kita cek kembali soalnya. Jika pembagian $(x^2+x-2)$ bersisa $(x-3)$, maka untuk akar-akar dari $x^2+x-2=0$, yaitu $x=1$ dan $x=-2$, berlaku:
$P(1) = 1-3 = -2$
$P(-2) = -2-3 = -5$

Dari perhitungan di atas:
$P(1) = 3 - a + b = -2 
ightarrow a - b = 5$
$P(-2) = 12 - a + b = -5 
ightarrow a - b = 17$

Ini adalah kontradiksi. Kita akan mengasumsikan ada kesalahan ketik pada soal dan menginterpretasikan ulang. Jika kita memecahkan sistem persamaan ini, tidak ada solusi tunggal.

Mari kita coba pendekatan lain dengan membagi langsung polinomialnya. Namun, metode teorema sisa adalah yang paling efisien.

Jika kita mengabaikan kontradiksi dan mencoba mencari nilai yang mendekati atau mengidentifikasi kemungkinan kesalahan:

Kemungkinan besar, ada kesalahan dalam penulisan soal. Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan perhitungan, sistem persamaan yang didapat adalah:
$a - b = 5$
$a - b = 17$

Karena tidak ada nilai $a$ dan $b$ yang memenuhi kedua persamaan ini secara bersamaan, maka tidak ada solusi untuk nilai $a$ dan $b$ berdasarkan informasi yang diberikan.