Tentukan hasil dari:a. integral 0 1 x^2(x^3+1)^4 dx b.

a. 31/15, b. 120

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal integral ini, kita akan menggunakan metode substitusi.

a. Integral dari x^2(x^3+1)^4 dx dari 0 sampai 1:
Misalkan u = x^3+1, maka du = 3x^2 dx, atau x^2 dx = du/3.
Batas bawah: jika x=0, maka u = 0^3+1 = 1.
Batas atas: jika x=1, maka u = 1^3+1 = 2.
Integral menjadi: ∫(dari 1 sampai 2) u^4 (du/3) = (1/3) ∫ u^4 du
= (1/3) [u^5/5] (dari 1 sampai 2)
= (1/15) [u^5] (dari 1 sampai 2)
= (1/15) (2^5 - 1^5)
= (1/15) (32 - 1)
= 31/15

b. Integral dari (2-3x)(3x^2-4x+3) dx dari -2 sampai 2:
Misalkan u = 3x^2-4x+3, maka du = (6x-4) dx = 2(3x-2) dx.
Perhatikan bahwa (2-3x) = -(3x-2). Jadi, (2-3x) dx = -du/2.
Integral menjadi: ∫ u (-du/2) = (-1/2) ∫ u du
= (-1/2) [u^2/2] (dari -2 sampai 2)
= (-1/4) [u^2] (dari -2 sampai 2)
Kita substitusikan kembali u = 3x^2-4x+3:
= (-1/4) [(3x^2-4x+3)^2] (dari -2 sampai 2)
Sekarang kita evaluasi pada batas atas dan bawah:
Batas atas (x=2): 3(2)^2 - 4(2) + 3 = 3(4) - 8 + 3 = 12 - 8 + 3 = 7.
Batas bawah (x=-2): 3(-2)^2 - 4(-2) + 3 = 3(4) + 8 + 3 = 12 + 8 + 3 = 23.
Integral = (-1/4) [7^2 - 23^2]
= (-1/4) [49 - 529]
= (-1/4) [-480]
= 120