Tentukan hasil dari integral berikut dengan menggunakan

Hasil integralnya adalah \(-2\sqrt{1-x} (5x^3 + 6x^2 + 8x + 16) + C\).

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral \(\int \frac{35x^3}{\sqrt{1-x}} dx\) dengan menggunakan pengintegralan parsial, kita perlu mengidentifikasi bagian \(u\) dan \(dv\) dari integral tersebut. Pengintegralan parsial menggunakan rumus \(\int u dv = uv - \int v du\).

Kita akan memilih \(u\) dan \(dv\) sebagai berikut:
Misalkan \(u = 35x^3\), maka \(du = 105x^2 dx\).
Misalkan \(dv = \frac{1}{\sqrt{1-x}} dx = (1-x)^{-1/2} dx\). Maka, untuk mencari \(v\), kita integralkan \(dv\):
\(v = \int (1-x)^{-1/2} dx\)
Misalkan \(w = 1-x\), maka \(dw = -dx\) atau \(dx = -dw\).
\(v = \int w^{-1/2} (-dw)\)
  \(= -\int w^{-1/2} dw\)
  \(= -\frac{w^{-1/2 + 1}}{-1/2 + 1}\)
  \(= -\frac{w^{1/2}}{1/2}\)
  \(= -2w^{1/2}\)
Substitusikan kembali \(w = 1-x\):
\(v = -2(1-x)^{1/2}\) atau \(v = -2\sqrt{1-x}\).

Sekarang kita masukkan nilai-nilai \(u, du, v,\) dan \(dv\) ke dalam rumus pengintegralan parsial:
\(\int u dv = uv - \int v du\)
\(\int \frac{35x^3}{\sqrt{1-x}} dx = (35x^3)(-2\sqrt{1-x}) - \int (-2\sqrt{1-x})(105x^2 dx)\)
                 \(= -70x^3\sqrt{1-x} + 210 \int x^2 \sqrt{1-x} dx\)

Kita perlu menyelesaikan integral \(\int x^2 \sqrt{1-x} dx\) menggunakan pengintegralan parsial lagi. Kali ini, kita pilih:
Misalkan \(u = x^2\), maka \(du = 2x dx\).
Misalkan \(dv = \sqrt{1-x} dx = (1-x)^{1/2} dx\).
Untuk mencari \(v\), kita integralkan \(dv\):
\(v = \int (1-x)^{1/2} dx\)
Misalkan \(w = 1-x\), maka \(dw = -dx\) atau \(dx = -dw\).
\(v = \int w^{1/2} (-dw)\)
  \(= -\int w^{1/2} dw\)
  \(= -\frac{w^{1/2 + 1}}{1/2 + 1}\)
  \(= -\frac{w^{3/2}}{3/2}\)
  \(= -\frac{2}{3}w^{3/2}\)
Substitusikan kembali \(w = 1-x\):
\(v = -\frac{2}{3}(1-x)^{3/2}\).

Sekarang masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus pengintegralan parsial untuk integral kedua:
\(\int x^2 \sqrt{1-x} dx = uv - \int v du\)
                 \(= (x^2)(-\frac{2}{3}(1-x)^{3/2}) - \int (- \frac{2}{3}(1-x)^{3/2})(2x dx)\)
                 \(= -\frac{2}{3}x^2(1-x)^{3/2} + \frac{4}{3} \int x(1-x)^{3/2} dx\)

Kita perlu menyelesaikan integral \(\int x(1-x)^{3/2} dx\) menggunakan pengintegralan parsial untuk ketiga kalinya.
Pilih:
Misalkan \(u = x\), maka \(du = dx\).
Misalkan \(dv = (1-x)^{3/2} dx\).
Untuk mencari \(v\), kita integralkan \(dv\):
\(v = \int (1-x)^{3/2} dx\)
Misalkan \(w = 1-x\), maka \(dw = -dx\) atau \(dx = -dw\).
\(v = \int w^{3/2} (-dw)\)
  \(= -\int w^{3/2} dw\)
  \(= -\frac{w^{3/2 + 1}}{3/2 + 1}\)
  \(= -\frac{w^{5/2}}{5/2}\)
  \(= -\frac{2}{5}w^{5/2}\)
Substitusikan kembali \(w = 1-x\):
\(v = -\frac{2}{5}(1-x)^{5/2}\).

Sekarang masukkan nilai-nilai ini ke dalam rumus pengintegralan parsial untuk integral ketiga:
\(\int x(1-x)^{3/2} dx = uv - \int v du\)
                 \(= (x)(-\frac{2}{5}(1-x)^{5/2}) - \int (- \frac{2}{5}(1-x)^{5/2})(dx)\)
                 \(= -\frac{2}{5}x(1-x)^{5/2} + \frac{2}{5} \int (1-x)^{5/2} dx\)

Sekarang kita integralkan \(\int (1-x)^{5/2} dx\):
Misalkan \(w = 1-x\), maka \(dw = -dx\) atau \(dx = -dw\).
\(\int w^{5/2} (-dw)\)
  \(= -\int w^{5/2} dw\)
  \(= -\frac{w^{5/2 + 1}}{5/2 + 1}\)
  \(= -\frac{w^{7/2}}{7/2}\)
  \(= -\frac{2}{7}w^{7/2}\)
Substitusikan kembali \(w = 1-x\):
  \(= -\frac{2}{7}(1-x)^{7/2}\).

Jadi, \(\int x(1-x)^{3/2} dx = -\frac{2}{5}x(1-x)^{5/2} + \frac{2}{5} (-\frac{2}{7}(1-x)^{7/2}) + C\)
                  \(= -\frac{2}{5}x(1-x)^{5/2} - \frac{4}{35}(1-x)^{7/2} + C\).

Substitusikan kembali hasil ini ke dalam integral kedua:
\(\int x^2 \sqrt{1-x} dx = -\frac{2}{3}x^2(1-x)^{3/2} + \frac{4}{3} [-\frac{2}{5}x(1-x)^{5/2} - \frac{4}{35}(1-x)^{7/2}] + C\)
                  \(= -\frac{2}{3}x^2(1-x)^{3/2} - \frac{8}{15}x(1-x)^{5/2} - \frac{16}{105}(1-x)^{7/2} + C\).

Terakhir, substitusikan kembali hasil ini ke dalam integral pertama:
\(\int \frac{35x^3}{\sqrt{1-x}} dx = -70x^3\sqrt{1-x} + 210 [-\frac{2}{3}x^2(1-x)^{3/2} - \frac{8}{15}x(1-x)^{5/2} - \frac{16}{105}(1-x)^{7/2}] + C\)
                 \(= -70x^3\sqrt{1-x} - 140x^2(1-x)^{3/2} - 112x(1-x)^{5/2} - 32(1-x)^{7/2} + C\).

Kita bisa memfaktorkan \(\sqrt{1-x} = (1-x)^{1/2}\) dari setiap suku:
\(= (1-x)^{1/2} [-70x^3 - 140x^2(1-x) - 112x(1-x)^2 - 32(1-x)^3] + C\)

Mari kita sederhanakan ekspresi di dalam kurung siku:
\(-70x^3\)
\(-140x^2(1-x) = -140x^2 + 140x^3\)
\(-112x(1-x)^2 = -112x(1 - 2x + x^2) = -112x + 224x^2 - 112x^3\)
\(-32(1-x)^3 = -32(1 - 3x + 3x^2 - x^3) = -32 + 96x - 96x^2 + 32x^3\)

Jumlahkan semua suku:
\(x^3\): \(-70 + 140 - 112 + 32 = -10\)
\(x^2\): \(-140 + 224 - 96 = -12\)
\(x^1\): \(-112 + 96 = -16\)
Konstanta: \(-32\)

Jadi, ekspresi di dalam kurung siku adalah \(-10x^3 - 12x^2 - 16x - 32\).

Hasil akhirnya adalah:
\(= (1-x)^{1/2} (-10x^3 - 12x^2 - 16x - 32) + C\)
\(= -2\sqrt{1-x} (5x^3 + 6x^2 + 8x + 16) + C\).

Perhatikan bahwa ada beberapa cara untuk melakukan substitusi dan pemilihan \(u, dv\), yang mungkin menghasilkan bentuk jawaban yang sedikit berbeda tetapi secara matematis setara.