Tentukan hasil operasi pada setiap bentuk berikut. 1/tan

$2 \\cot(2a)$

Pembahasan

Untuk menyederhanakan ekspresi $\\frac{1}{\\tan a} - \\frac{1}{\\cot a}$, kita perlu menggunakan identitas trigonometri dasar.

Kita tahu bahwa $\\cot a = \\frac{1}{\\tan a}$. Oleh karena itu, $\\frac{1}{\\tan a} = \\cot a$.

Substitusikan identitas ini ke dalam ekspresi:
$\\frac{1}{\\tan a} - \\frac{1}{\\cot a} = \\cot a - \\frac{1}{\\frac{1}{\\tan a}}$
$= \\cot a - \\tan a$

Cara lain untuk menyederhanakan adalah dengan mengubah $\\cot a$ menjadi $\\frac{1}{\\tan a}$:
$\\frac{1}{\\tan a} - \\frac{1}{\\cot a} = \\frac{1}{\\tan a} - \\tan a$

Untuk menggabungkan kedua suku ini, kita cari penyebut bersama, yaitu $\\tan a$:
$= \\frac{1}{\\tan a} - \\frac{\\tan^2 a}{\\tan a}$
$= \\frac{1 - \\tan^2 a}{\\tan a}$

Ini juga bisa ditulis menggunakan $\\sin a$ dan $\\cos a$:
$\\frac{1}{\\tan a} = \\cot a = \\frac{\\cos a}{\\sin a}$
$\\frac{1}{\\cot a} = \\tan a = \\frac{\\sin a}{\\cos a}$

Maka ekspresinya menjadi:
$\\frac{\\cos a}{\\sin a} - \\frac{\\sin a}{\\cos a}$

Samakan penyebutnya:
$= \\frac{\\cos^2 a}{\\sin a \\cos a} - \\frac{\\sin^2 a}{\\sin a \\cos a}$
$= \\frac{\\cos^2 a - \\sin^2 a}{\\sin a \\cos a}$

Menggunakan identitas $\\cos(2a) = \\cos^2 a - \\sin^2 a$ dan $\\sin(2a) = 2 \\sin a \\cos a$, kita bisa menulis ulang:
$= \\frac{\\cos(2a)}{\\frac{1}{2}\\sin(2a)}$
$= 2 \\frac{\\cos(2a)}{\\sin(2a)}$
$= 2 \\cot(2a)$

Jadi, hasil operasi $\\frac{1}{\\tan a} - \\frac{1}{\\cot a}$ dapat disajikan dalam beberapa bentuk, yaitu $\\cot a - \\tan a$, $\\frac{1 - \\tan^2 a}{\\tan a}$, $\\frac{\\cos^2 a - \\sin^2 a}{\\sin a \\cos a}$, atau $2 \\cot(2a)$. Bentuk yang paling sederhana tergantung pada konteks yang diinginkan.