Tentukan nilai dari lim x->tak hingga (x+5/x+3)^(x+6)

Nilai limitnya adalah e^2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai dari limit lim x->tak hingga (x+5/x+3)^(x+6), kita dapat menggunakan sifat limit untuk bentuk (1 + 1/n)^n = e.

Pertama, kita ubah bentuk ekspresi di dalam limit:
(x+5)/(x+3) = (x+3+2)/(x+3) = 1 + 2/(x+3)

Sehingga, limitnya menjadi:
lim x->tak hingga [1 + 2/(x+3)]^(x+6)

Kita perlu menyesuaikan eksponen agar sesuai dengan bentuk (1 + 1/n)^n. Misalkan y = (x+3)/2. Maka, x+3 = 2y, dan x = 2y - 3.
Ketika x -> tak hingga, maka y -> tak hingga.

Substitusikan kembali ke dalam limit:
lim y->tak hingga [1 + 1/y]^(2y - 3 + 6)
lim y->tak hingga [1 + 1/y]^(2y + 3)

Kita bisa memisahkan eksponennya:
lim y->tak hingga ([1 + 1/y]^(2y)) * ([1 + 1/y]^3)

Untuk bagian pertama, kita gunakan sifat limit: lim y->tak hingga (1 + 1/y)^ny = e^n.
Jadi, lim y->tak hingga ([1 + 1/y]^(2y)) = e^2.

Untuk bagian kedua, ketika y -> tak hingga, (1/y) -> 0, sehingga [1 + 1/y]^3 -> (1 + 0)^3 = 1^3 = 1.

Jadi, hasil akhir limitnya adalah e^2 * 1 = e^2.