Tentukan nilai limit berikut.lim x -> 1 x-1/akar(x^2+3-2

Nilai limit adalah 2.

Pembahasan

Untuk menentukan nilai limit $\lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2}$, kita dapat mencoba substitusi langsung. Jika hasilnya adalah bentuk tak tentu (0/0), kita perlu menggunakan metode lain seperti mengalikan dengan akar sekawan.

Substitusi x=1:
Pembilang: 1 - 1 = 0
Penyebut: $\sqrt{1^2+3}-2 = \sqrt{1+3}-2 = \sqrt{4}-2 = 2-2 = 0$

Karena hasilnya adalah bentuk 0/0, kita akan mengalikan pembilang dan penyebut dengan akar sekawan dari penyebut, yaitu $\sqrt{x^2+3}+2$.

$$ \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x^2+3}-2} \times \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{\sqrt{x^2+3}+2} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{(\sqrt{x^2+3})^2 - 2^2} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{(x^2+3) - 4} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{x^2-1} $$ $$ = \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(\sqrt{x^2+3}+2)}{(x-1)(x+1)} $$

Kita dapat mencoret (x-1) karena $x \to 1$ berarti $x \neq 1$.

$$ = \lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{x^2+3}+2}{x+1} $$

Sekarang, substitusikan kembali x=1:
$$ = \frac{\sqrt{1^2+3}+2}{1+1} = \frac{\sqrt{4}+2}{2} = \frac{2+2}{2} = \frac{4}{2} = 2 $$