tentukan nilai limit dari: lim _(x -> 0) (1-cos 8 x)/(8

4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit lim (x -> 0) (1 - cos 8x) / (8x^2), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Metode 1: Menggunakan identitas trigonometri 1 - cos(2a) = 2 sin^2(a)
Dalam kasus ini, 8x = 2a, sehingga a = 4x.
Limit menjadi: lim (x -> 0) (2 sin^2(4x)) / (8x^2)
= lim (x -> 0) (sin^2(4x)) / (4x^2)
Kita tahu bahwa lim (u -> 0) sin(u) / u = 1. Kita bisa memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk ini:
= lim (x -> 0) (sin(4x) / (2x)) * (sin(4x) / (2x))
= lim (x -> 0) (1/4) * (sin(4x) / x) * (1/4) * (sin(4x) / x)
= (1/4) * lim (x -> 0) (sin(4x) / x) * (1/4) * lim (x -> 0) (sin(4x) / x)
Untuk menyelesaikan lim (x -> 0) sin(4x) / x, kita kalikan pembilang dan penyebut dengan 4:
lim (x -> 0) 4 * (sin(4x) / (4x)) = 4 * 1 = 4
Jadi, limitnya adalah: (1/4) * 4 * (1/4) * 4 = 1 * 1 = 1

Metode 2: Menggunakan Aturan L'Hopital
Karena substitusi langsung x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan Aturan L'Hopital.
Turunan dari pembilang (1 - cos 8x) adalah -(-8 sin 8x) = 8 sin 8x.
Turunan dari penyebut (8x^2) adalah 16x.
Limit menjadi: lim (x -> 0) (8 sin 8x) / (16x)
Ini masih menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, jadi kita terapkan L'Hopital lagi.
Turunan dari pembilang (8 sin 8x) adalah 8 * (8 cos 8x) = 64 cos 8x.
Turunan dari penyebut (16x) adalah 16.
Limit menjadi: lim (x -> 0) (64 cos 8x) / 16
Sekarang substitusikan x = 0:
(64 cos(0)) / 16 = (64 * 1) / 16 = 64 / 16 = 4

Oops, ada kesalahan dalam perhitungan sebelumnya. Mari kita periksa kembali.

Metode 1 (Revisi):
Limit = lim (x -> 0) (1 - cos 8x) / (8x^2)
Gunakan 1 - cos(2a) = 2 sin^2(a). Maka 1 - cos(8x) = 2 sin^2(4x).
Limit = lim (x -> 0) (2 sin^2(4x)) / (8x^2)
Limit = lim (x -> 0) (sin^2(4x)) / (4x^2)
Limit = lim (x -> 0) [ (sin(4x)) / (2x) ]^2
Kita tahu lim (u -> 0) sin(u)/u = 1. Maka lim (x -> 0) sin(4x)/(4x) = 1.
Kita perlu bentuk (sin(4x))/(2x). Kita bisa ubah menjadi (sin(4x))/(4x) * 2.
Limit = lim (x -> 0) [ (sin(4x))/(4x) * 2 ]^2
Limit = [ lim (x -> 0) (sin(4x))/(4x) * 2 ]^2
Limit = [ 1 * 2 ]^2 = 2^2 = 4.

Metode 2 (Revisi Aturan L'Hopital):
Limit = lim (x -> 0) (1 - cos 8x) / (8x^2)
Turunan pembilang: 8 sin 8x
Turunan penyebut: 16x
Limit = lim (x -> 0) (8 sin 8x) / (16x)

Lagi, gunakan L'Hopital:
Turunan pembilang: 64 cos 8x
Turunan penyebut: 16
Limit = lim (x -> 0) (64 cos 8x) / 16
Substitusi x = 0:
(64 cos 0) / 16 = (64 * 1) / 16 = 4.

Jadi, nilai limitnya adalah 4.